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§6.3三角形的中位线
1、平行四边形的性质是什么?2、平行四边形的判定方法有几种?
小明同学把任意一个三角形分成了四个全等的三角形,猜一猜他是怎样做的?做法:连接每两边的中点.
三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图,点D、E是AB、AC的中点,则线段_D_E_是△ABC的中位线,除此之外△ABC还有其它中位线吗?你会画吗?.ADE任意一个三角形都有三条中位线.若连接AF,则AF是△ABC的____.请你说出三角形的中线和中位线的区别.CBF
概念明晰三角形的中位线与三角形的中线有什么区别?AADECBCBF中位线是两个中点的连线,而中线是一个顶点和对边中点的连线。
A如图,DE是△ABC的中位线.你能猜出DE与BC有怎ED样的位置关系和数量关系?能证明你的猜想吗?CB
观察猜想A在△ABC中,中位线DE和边BC什么关系?EFD演示1BC位置关系:DE∥BCDE和边BC关系数量关系:DE=BC.
定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.A∵AD=DB,AE=EC符号语言:∴DE∥BC,EDDE=BCCB
已知:DE是△ABC的中位求:DE∥BC,DE=BC12A明:延DE至F,使EF=DE,接CF∵AE=CE,∠AED=∠CEF,∴△ADE≌△CFE∴AD=CF,∠ADE=∠F∴BD∥CFDEF∵AD=BD∴BD=CFBC∴四形BCFD是平行四形(一平行且相等的四形是平行四形)∴DF∥BC,DF=BC∴DE∥BC,DE=1BC2
1、填空题(1)如图,E是平行四边形ABCD的AB边上的中点,且AD=10cm,那么OE=5cm.(2)三角形的周长为18cm,面积为48cm,这个三角形的三条中位线围成三角形的周长29cm,面积是12cm2是.①图中有几个平行四边形?思考:A②图中有几个三角形?它们有什么关系?E10ADDO5ECBCBF
巩固新知A平行于3.三角形的中位线_______第三边,并且__等__于__第三边的____一__半______4.如图:在△ABC中,DE是中ED位线。BC(1)若∠ADE=60°,则∠B=60°;4(2)若BC=8cm,则DE=cm.(3)DE+BC=12cm,则BC=——5.若等腰△ABC的周长是40cm,AB=AC=14cm,则中位线DE=6cm———
6.如图,MN为△ABC的中位线,若61°∠ABC=61°则∠AMN=,24若MN=12,则BC=.AMNBC
7.如图,△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,当BC=10㎝时,则B5㎝DE=.DAEC
8.如图,已知△ABC中,AB=3㎝,BC=3.4㎝AC=4㎝且D,E,F分别为AB,BC,AC边的中点,则△DEF的周长A5.2是㎝.DECBF
问题A如图1:在△ABC中,DE是中位线60(1)若∠ADE=60°,则∠B=度,为什么?DE4(2)若BC=8cm,则DE=cm,为什么?BC(3)如图2:在△ABC中,D、E、F分别是各边中点图1BAB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,则△DEF的周长=12cmDF4若△ABC的面积为24,△DEF的面积是____35ACE图2
你能利用刚学的定理证明前面小明分割出的四个小三角形全等吗?ADEBCF
顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是什么特殊的四边形?已知:四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.AHDE求证:四边形EFGH是平行四边形GBFC分析:已知四条线段的中点,可设法应用三角形中位线定理,找到四边形EFGH的边之间的关系.而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连结AC或BD,构造“三角形的中位线”的基本图形.
例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已知:如图24.4.3所示,在△ABC中,AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证:AE、DF互相平分.证明连结DE、EF.∵AD=DB,BE=EC,∴DE∥AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半).同理EF∥AB.∴四边形ADEF是平行四边形.∴AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分).
例2:在△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到点D,使AD=1/2AB,点E,F分别为BC,AC的中点,试说DF=BE理由D证:∵点E,F分别为BC,AC的中点∴EF∥AB,EF=1/2ABAF∴∠DAC=∠EFC=90°B∵AD=1/2AB,∴AD=EF,EC∵AF=CF,∴△ADF≌△FEC(S
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