斐波那契数列通项公式的推导方法课件.pptVIP

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利用转化思想求斐波那契数列的通项公式象山县第三中学谢刚伟

一、与斐波那契有关的事实

1、斐波那契和“兔子问题”

意大利数学家(约1170-约1250年),12、13世纪欧洲数学界的代表人物,生于比萨。他的书保存下来的共有5种。最重要的是《算盘书》(1202年完成,1228年修订),其中最耐人寻味的是,这本书出现了中国《孙子算经》中的不定方程解法。另一个「兔子问题」也引起了后人的极大兴趣。这数列与后来的「优选法」有密切关系。

「兔子问题」:假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子,而小兔子出生后两个月就有生殖能力.问从一对大兔子开始,一年后能繁殖成多少对兔子?这就产生了斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34…

2、介绍斐波那契数列的应用和植物生长的有趣现象

它是一种特殊的线性递归数列,在数学的许多分支中有广泛应用。数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出树木生长的问题:如果一棵树苗在一年以后长出一条新技,然后休息一年.再在下一年又长出一条新枝,并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝.那么第1年它只有主干1枝,第2年有2枝,第3年有3枝,第4年有5枝,第5年有8枝等等.每年的分枝数顺次组成的数列符合斐波那契数列(除第一项外)植物生的螺旋

3、概括斐波那契数列的特征,写出递推关系

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…其规律是从第三项起,每一项都是前两项的和.用递推公式表达就是:

4、斐波那契数列通项公式的发现与证明

1680年意大利──法国学者卡西尼发现该数列的某个重要关系式。1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式,现在称为之为比内公式。1963年美国还创刊《斐波那契季刊》来专门研究斐波那契数列。

二、设计问题,发现公式的推导方法

问题一已知数列{}满足求数列{}的通项公式。问题二已知数列{}满足数列{}满足:=+1;(1)求证:数列{}为等比数列;(2)求数列{}的通项公式。

问题一的解答思路一:=3×1+2=5,=3×5+2=17,=3×17+2=53,…无法继续下去。

概括出这类数列的一般特征和解法:

思路一:用计算、猜想、证明的方法(略)

三、斐波那契数列通项公式的推导方法

解法推广:

四、课堂总结

1、重要的数学思想方法①待定系数法、构造法

2、值得借鉴的经验

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