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微专题08函数方程问题的分析
一、基础学问:
1、函数方程:含有未知函数的等式叫做函数方程,例如:都可称为函数方程。在中学阶段,涉及到函数方程有以下几个类型:
(1)表示函数的某种性质:例如体现是偶函数;体现是周期为1的周期函数(可详见“函数对称性与周期性”一节)
(2)可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式:例如:,可用代替得,即
(3)函数方程也是关于变量的恒等式,所以通过对变量赋特别值得到某些数的函数值
2、双变量函数方程的赋值方法:
(1)对均赋特别值,以得到某些点的函数值,其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用,比如,在赋特别值的过程中要留意所赋的值要符合函数定义域。
(2)其中某一个变量不变,另一个赋特别值,可得到单变量的恒等式,通常用于推断函数的性质
3、常见函数所符合的函数方程:在填空选择题时可作为特别的例子协助处理,但是在解答题中不能用这些特别的函数代表函数方程
(1):
(2):
(3)①当时,:
②当时,:
二、典型例题
例1:已知函数对随意的均有,且当时,
(1)求证:为奇函数
(2)求证:为上的增函数
(1)思路:要证明奇函数,则须要出现在同一等式中,所以考虑令,则有,再通过代入特别值计算出即可
解:(1)令,则
令,则解得
为奇函数
(2)思路:要证明单调递增,则需任取,且,去证明与的大小,结合等式,则须要让与分居等号的两侧,才能进行作差。所以考虑,进而。只需推断的符号即可
解:任取,且,令,代入方程可得:
,依题意可得:
即
为增函数
小炼有话说:第(2)问将拆分为是本题证明的亮点,达到了让与分居等号的两侧的目的
例2:已知定义在上的函数,对于随意实数都满意,且,当时,
(1)求的值
(2)求证:在上是增函数
(3)求不等式:的解集
解:(1)令,则有,解得或
令可得:
(2)思路:考虑证明单调递增,则需构造出,即可设且令,则有,从而,由和已知条件可得:所以须要证明,即,,可考虑结合题目条件和,令,则有,从而单调性可证
证明:,则令,代入函数方程有:
,下证
由已知可得,时,所以只需证明时,
令
,即
在上单调递增
(3)思路:本题并没有的解析式,所以考虑利用函数的单调性求解。由(1)(2)问可得,从而,再依据单调性即可得到关于的不等式,解出不等式即可
解:
,且
由(2)可得单调递增
解得
例3:定义在的函数满意关系,当时,,若,则的大小关系为()
A.B.C.D.
思路:由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性,先化简,由可得:,令解得:,即,所给方程左边已经作差,所以考虑,,则,因为,所以,从而,即,得到在单调递增,所以
答案:D
小炼有话说:本题在证明单调性时,因为考虑了中自变量的取值,所以只需考虑的单调性,缩小的范围使得推断的范围较简单。但也可将在中任取,但是在推断的范围会比较困难,可利用不等式的等价变形来证:
假设,因为
且
由可得成立,从而
例4:函数的定义域为,满意,在区间上单调递增,若满意,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
思路:从所求中发觉互为相反数,所以联想到判定是否具有奇偶性。令,则有,需求出:令,则,再令,则,所以,为偶函数。所以,所解不等式为,因为为偶函数,且区间上单调递增,所以自变量距离轴越近,则函数值越小,所以,即,解得,因为,所以的范围为
答案:D
例5:设角的终边在第一象限,函数的定义域为,且,当时,有,则使等式成立的的集合为
思路:首先从所求动身,由确定代入的特别值。令得:,则下一步须要确定的值,令,则有,所以,由角的终边在第一象限可得:,从而的集合为
答案:
例6:定义在上的函数满意:对于随意的,有,且时,有,设的最大值和最小值分别为,则的值为()
A.B.C.D.
思路:由最值联想到函数的单调性,从而先考虑证明单调,令(其中),则可证明为增函数,从而,再利用函数方程求出的值即可
解:,且,令代入函数方程可得:
,
在单调递增
令,可得:
答案:D
例7:已知函数满意:,对随意实数都有,则()
A.B.C.D.
思路:由所求动身可考虑推断是否具备周期性,令,可得,即,所以,两式相加可得,则可判定的周期为6,由可得:,即,由可得,
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