2023年初三一模分类汇编：解直角三角形的应用（解答题22题）-答案.docxVIP

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2023年上海市15区中考数学一模汇编

专题08解直角三角形的应用（解答题22题）

一．解答题（共15小题）

1．（2022秋?青浦区校级期末）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）

【分析】由已知可得△ABC中∠C＝67°，∠B＝37°且AB＝20海里．要求BC的长，可以过A作AD⊥BC于D，先求出CD和BD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形．

【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．

由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．

在Rt△ABH中，

∵sinB＝，∴AH＝AB?sin∠B＝20×sin37°≈12，

∵cosB＝，∴BH＝AB?cos∠B＝20×cos37°≈16，

在Rt△ACH中，

∵tan∠ACH＝，

∴CH＝≈5，

∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．

∵21÷25＜1，

所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

2．（2022秋?嘉定区校级期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图4，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为17°，即∠ADC＝17°（此时点B、C、D在同一直线上）．

求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．

（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）

【分析】根据坡度的概念，设AB＝5x米，则BC＝12x米，根据勾股定理列出方程，解方程求解，然后根据余切的定义列出算式，求出DC．

【解答】解：由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，

在Rt△ABC中，i＝＝，

设AB＝5x米，则BC＝12x米，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴AC＝13x，

∵AC＝13，

∴x＝1，

∴AB＝5米，BC＝12米，

在Rt△ABD中，tan∠ADC＝，

∵∠ADC＝17°，AB＝5米，

∴，

∴CD≈4.1（米），

答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为4.1米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

3．（2022秋?杨浦区校级期末）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向1000米处．

（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）

（2）救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为320米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）

【分析】（1）延长CB到点D，使CD⊥AD于D，设BD＝x，则AB＝2x，，CD＝900+x，在Rt△ACD中，，即可求出x＝450，根据Rt△ACD中，即可求出湖岸A与码头C的距离；

（2）设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程＝BC+AC，列出方程，求出时间t，再和5分钟进行比较即可求解．

【解答】解：（1）延长CB到点D，使CD⊥AD于D，

由题易知：，CD＝AD，，BD＝AD，

∴（米），

∴AD＝500，

∴AC＝2AD＝1000≈1732（米），

则1800t+320?（t﹣）＝1732，

500t＝2732，

解得：，

∴6min内可以将该游客送上救援船．

【点评】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．

4．（2022秋?青浦区校级期末）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离45米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于30米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．

（1）求山坡的高度；

（2）求铁塔的高度