人教版高一数学新教材同步配套教学讲义4.5.2用二分法求方程的近似解(原卷版+解析).docxVIP

4．5．2用二分法求方程的近似解

【知识点梳理】

知识点一：二分法

1、二分法

对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．

2、用二分法求函数零点的一般步骤：

已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．

第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．

第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为

．

计算和，并判断：

①如果，则就是的零点，计算终止；

②如果，则零点位于区间中，令；

③如果，则零点位于区间中，令

第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为

．

计算和，并判断：

①如果，则就是的零点，计算终止；

②如果，则零点位于区间中，令；

③如果，则零点位于区间中，令；

……

继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．

知识点诠释：

（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．

（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．

3、关于精确度

（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，

这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位．

（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．

【题型归纳目录】

题型一：用二分法求近似解的条件

题型二：用二分法求方程近似解的过程

题型三：用二分法求函数零点的过程

【典型例题】

题型一：用二分法求近似解的条件

例1．（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（????）

A． B．

C． D．

例2．（2022·湖南·高一课时练习）观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（????）

A．B．C．D．

例3．（2022·四川省南充高级中学高一阶段练习）用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（????）

A． B． C． D．

变式1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（?????）

A．f（x）＝3x－1 B．f（x）＝x3

C．f（x）＝|x| D．f（x）＝lnx

变式2．（2022·江苏·高一单元测试）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（????）

A．（k，b为常数，且）

B．（a，b，c为常数，且）

C．

D．（，k为常数）

变式3．（2022·江苏·高一专题练习）用二分法求函数零点的近似值适合于（????）

A．变号零点 B．不变号零点

C．都适合 D．都不适合

【方法技巧与总结】

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．

题型二：用二分法求方程近似解的过程

例4．（2022·甘肃·高台县第一中学高一期中）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：

x

0

0．5

0．53125

0．5625

0．625

0．75

1

0．066

0．215

0．512

1．099

由二分法，方程的近似解（精确度为0．05）可能是（????）

A．0．625 B． C．0．5625 D．0．066

例5．（2022·全国·高一课时练习）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0．1）可以是（????）

A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．5

例6．（2022·四川·广安二中高一期中）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：

????????????????????????????????

????????????????

那么方程的一个近似解（精确度为0．1）为（????）

A．1．5 B．1．25 C．1．41 D．1．44

变式4．（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（????）

A．， B．，

C．， D．，

变式5．（2022·全国·高一课前预习）方程在区间上的根必定在（????）

A．上 B．上 C．上 D．上

变式6．（2022·全国·高一单元测试）若函数在区间[1，1．5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：

x

1

1．5

1．25

1．375

1．3125

f（x）

-1

0．875

-0．2969

0．2246

-