电力计算数据公式推导.docVIP

序列{Xt}为严格平稳的条件：

随机序列{Xt}是严格平稳的，若对于任意的整数k和任意的时间点t1,t2,。。。,tk,随机向量(Xt1,Xt2,...,Xtk)的联合分布与(Xt1+h,Xt2+h,…,Xtk+h)的联合分布相同，其中h是任何一个整数。

对于AR(p)模型，若{μt}为均值为零且方差为σ2的白噪声序列，则{Xt}为严格平稳的条件是：

1.所有根zi（即特征多项式1-=0根）都必须位于单位圆外，即1。

2.{μt}必须是严格白噪声，即E[μt]=0且E[μtμs]=0（对于t≠s）。

2.证明严格平稳条件：

要证明严格平稳性，我们需要证明对于任意的k和h，随机向量(Xt1,Xt2,…,Xtk)的联合分布与(Xt1+h,Xt2+h,…,Xtk+h)的联合分布相同。

我们从AR(p)AR(p)AR(p)模型开始：

Xt=β1Xt—1+β2Xt_2+?+βpXt?p+μt?

假设序列{Xt}是严格平稳的，那么对于任意的t和h，我们有：

Xt+h=β1Xt+h?1+β2Xt+h?2+?+βpXt+h?p?+μt+h?

因为{μt}是白噪声序列，具有独立同分布性质，且满足均值为零，方差为σ2，所以我们可以证明：(Xt+h?1,Xt+h?2,…,Xt+h?p)

具有相同的联合分布性质。根据AR(p)模型的特征多项式根位于单位圆外的条件，我们可以得出{Xt}是平稳的。

3.该模型的宽平稳条件：

宽平稳（弱平稳或协方差平稳）的条件是：

1.序列的均值E[Xt]是常数。

2.自协方差函数γ(t,s)=E[(Xt?E[Xt])(Xs-E[Xt])]仅依赖于时间差∣t?s∣。

对于AR(p)模型，当特征多项式1?=0的所有根都位于单位圆外时，序列{Xt}满足宽平稳的条件。

非线性序列估计系数

用高斯牛顿法：

初始估计：选择参数向量的初始估计β0。

计算残差：计算每个数据点的残差ri=yi?f(xi,β)。

计算雅可比矩阵：计算残差向量对参数向量的雅可比矩阵J，即。

更新参数向量：通过解以下线性方程更新参数向量：βk+1=βk+(JTJ)?1JTr其中J是雅可比矩阵，r是残差向量。

Python代码：

importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportleast_squares

#定义非线性模型

defmodel(x,beta):

returnbeta[0]*np.exp(-beta[1]*x)+beta[2]

#定义残差函数

defresiduals(beta,x,y):

returny-model(x,beta)

#示例数据

x_data=np.array([0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0])

y_data=np.array([1.2,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2])

#初始估计

beta_initial=np.array([1.0,1.0,1.0])

#使用高斯-牛顿法进行参数估计

result=least_squares(residuals,beta_initial,args=(x_data,y_data),method=lm)

#输出结果

print(Estimatedparameters:,result.x)

print(Residualsumofsquares:,2*result.cost)

用牛顿一拉夫森送代法并证明迭代何时收敛

假设有一个非线性序列{yi}和对应的变量{xi}，需要估计这些序列的系数θ。假设模型形式为yi=g(xi,θ)，其中g是已知函数，目标是找到使得g(xi,θ)=yi的θ。

定义目标函数：

找到使得f(θ)=0的θ。

牛顿-拉夫森迭代公式为：

迭代收敛性证明

为了证明牛顿-拉夫森迭代法的收敛性，假设x?是方程f(x)=0的真解。考虑x?的附近的一个小邻域内的初始值x0。

牛顿-拉夫森法的收敛性依赖于以下条件：

函数f(x)在x?处二阶连续可导：这意味着f′(x?)和f′′(x?)存在且连续。

初始值足够接近真解：即x0足够接近x。

根据泰勒级数展开：

其中ξ介于x和x?之间。在x=xn处，我们得到：

忽略高阶项并结合牛顿-拉夫森迭代公式：

所以：

假设xn足够接近x?，则f(xn)≈f′(x?)(xn?x?)，所以：

进一步近似：xn+1?x?≈?(xn?x?)这表明，当xn足够接近x?时，xn+1会更接近x?，即迭代序列收敛于x?。

牛顿-拉夫森迭代法在初始值足够接近真解且函数