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人教版八年级上阶段拔尖专训5与角平分线有关的全等模型
【高分秘籍】【模型】作垂线【条件】BD平分∠
ABC,且DC⊥BC.【结论】△DCB≌△
DFB.【模型】截长补短【条件】BD为△ABC的角平
分线.【结论】(1)若BE=BA,则△
ABD≌△EBD;(2)若BF=
BC,则△BFD≌△BCD.
作垂线1.[2024南京玄武区月考]如图,在△ABC中,∠ACB=
90°,点D,E分别在边BC,AC上,DE=DB,
∠DEC=∠B.求证:AD平分∠BAC.12
【证明】如图,过点D作DF⊥AB于点F,∴∠DFB=
90°.∵∠ACB=90°,∴∠DFB=∠ACB,DC⊥AC.?∴△DCE≌△DFB(AAS).∴DC=DF.∴AD平分∠BAC.12
【针对性练习1】如图,CB=CD,∠D+∠ABC=
180°,CE⊥AD于点E.(1)求证:AC平分∠DAB;12
【证明】如图,过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点
F,则∠CFB=90°.∵CE⊥AD,∴∠DEC=90°,∴∠DEC=∠CFB.∵∠D+∠ABC=180°,∠CBF+∠ABC=180°,
∴∠D=∠CBF.12
?∴△CDE≌△CBF(AAS).∴CE=CF.∴AC平分∠DAB.12
?(2)若AE=10,DE=4,求AB的长.12
【针对性练习2】小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道
题:如图①,已知∠MAN+∠DCB=180°,AC平分
∠MAN,点B,D分别在AN,AM所在的直线上.12
(1)小明猜想:CD=CB.以下是小明的思考过程,有两个步
骤还空着,请你补充完整.证明:如图①,过点C分别作AM,AN的垂线,垂足分
别为点E,F.∵AC平分∠MAN,∴=(角平分线上一点到
这个角两边的距离相等),CECF12
∵∠MAN+∠DCB=180°,四边形ABCD的内角和等
于360°,∴∠ADC+∠ABC=180°.又∵∠ADC+∠CDE=180°,∴=?.又∵∠CED=∠CFB=90°,∴△CED≌△CFB,∴CD=CB.∠CDE∠CBF12
(2)当∠DCB绕点C逆时针旋转到如图②的位置时,CD交
MA的延长线于点D,CB交射线AN于点B.请证明(1)中
的结论CD=CB依然成立.12
【证明】过点C分别作AM,AN的垂线,垂足分别为点
E,F,∵AC平分∠MAN,CE⊥AM,CF⊥AB,
∴CE=CF,∠CED=∠CFB=90°.∴∠MAN+
∠ECF=180°.∵∠MAN+∠DCB=180°,∴∠ECF
=∠DCB.∴∠ECF-∠DCF=∠DCB-∠DCF,
即∠ECD=∠FCB.∴△CED≌△CFB(ASA).∴CD=CB.12
截长补短2.[2023北京西城区期中]如图,在△ABC中,∠A=
100°,∠ABC=40°,BD是△ABC的角平分线.延长
BD至E,使DE=AD,连接EC.(1)∠CDE=?;60°12
(2)猜想线段BC与AB+CE的数量关系,并给出证明.【解】BC=AB+CE.证明如下:如图,在BC上截取BF=AB,连接DF.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠FBD.又∵BD=
BD,AB=BF,∴△ABD≌△FBD(SAS).∴AD=DF,∠ADB=∠BDF.12
∵∠ADB=∠CDE=60°,∴∠BDF=60°.
∴∠FDC=180°-∠ADB-∠BDF=
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