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竞赛专题15初等数论

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1．（2024·浙江·高三竞赛）将1~2024的数字按顺时针方向围成一个圆圈，然后从1起先，按顺时针依次隔一个数拿走，即拿走1，3，5，…，这个过程始终进行下去，直到剩下最终一个数字，则最终剩下的数字是___________.

【答案】1992.

【解析】

【详解】

在第一轮中，从1起先到拿走1991，共取走996个数，此时余下1024个数，

1991后一项偶数为1992，此后共取10次，余下的数为1992，

故答案为:1992.

2．（2024·全国·高三竞赛）关于x、y的方程的正整数解的个数为________．

【答案】48

【解析】

【详解】

解析：由得，整理得

，

从而，原方程的正整数解有（个）．

故答案为：48.

3．（2024·全国·高三竞赛）为正整数列，满意为的最小素因子，，构成集合A，P为全部质数构成的集合，则集合的最小元素为___________．

【答案】5

【解析】

【详解】

由于，故，所以集合的最小元素．

假设存在正整数n，使得，则，

故，这不行能，因为除以5的余数为，

所以．集合的最小元素为5．

故答案为：5.

4．（2024·全国·高三竞赛）质数p和正整数m满意，则___________.

【答案】7

【解析】

【详解】

由，易见，所以.

设，则.

所以，，.

5．（2024·浙江·高三竞赛）已知集合，为正整数.若对随意的，被4整除，但不被16整除，则的最大值为______.

【答案】4

【解析】

【分析】

【详解】

考虑同余：

对随意的被4整除,则有,其中,

而这类型的数模16的余数至多只有4种,所以最大值为4.

故答案为：4.

6．（2024·浙江·高二竞赛）设数列，，2，…，7这里表示不超过的最大整数.若，则正整数有______种可能的取值状况.

【答案】7

【解析】

【分析】

依据高斯函数的性质，由逐次往前求，留意先定范围再验证，即可得到答案.

【详解】

由，可得或11，

可得或13或14；

可得或16或17；

可得或19或20或21；

可得或23或24或25或26；

可得或28或29或30或31或32；

可得或34或35或36或37或38或39，共7种.

7．（2024·全国·高三竞赛）全部能使为质数的正整数n的倒数和为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

时，都不是质数；时，是质数；

时，是质数；时，是质数．

当时，可设（其中k为不小于2的正整数，或2），

则，

所以．

因为，所以，所以不是质数．因此，能使为质数的正整数n只有4、5、6，它们的倒数和为．

故答案为：.

8．（2024·全国·高三竞赛）若2024在p进制下的各位数字之和为，则质数p的全部可能值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

类似于在十进制下，我们有，

于是，

再留意p为质数，就有，

逐一验证得或.

故答案为：.

9．（2024·全国·高三竞赛）在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个．

【答案】501.

【解析】

【详解】

设，若，则.又，，，因此，当且仅当.令，，则，因为，，，从而符合条件的数的个数为.

故答案为501

10．（2024·浙江·高三竞赛）设，，为正整数，且，则全部的解中的最大值为___________.

【答案】30.

【解析】

【详解】

配方得：（，等价）.

留意到：，，.

不妨设且，

（1）当，即，此时.

（2）当，即，此时.

（3）当，即，此时.

（4）当，即，此时.

（5）当，即，此时.

综上所述，全部的解中的最大值为30.

故答案为：30.

11．（2024·江苏·高三竞赛）设正整数，，，满意，，且，则的值为___________．

【答案】123801

【解析】

【详解】

解析：由题意可得，，则必为完全平方数，确定能开4次方．

设，，则，且留意到3，101都是质数，则或者，解得，，则．

故答案为：123801.

12．（2024·江苏·高三竞赛）设，，若，则的值为___________．

【答案】6

【解析】

【详解】

解析：因为，

累乘可得原式，则

，

故，

从而可得

，

则，且，在的值为6，9，18，

故，．故．

故答案为：6.

13．（2024·浙江·高三竞赛）将依次为1，2，…，2024的2024张卡片变成1011，1，1012，2，…，2024，1010的依次，即原先的前1010张卡片移至第2，4，…，2024张，这称为一次操作.若从依次1，2…，2024起先操作，则至少经过______次操作可以复原到初始依次.

【答案】1932

【解析】

【分析】

【详解】

记第次调整前的位置为,调整后的位