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10.1随机事件与概率10.1.3古典概型;
事件的关系或运算;
探究新知
研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事
件的概率.事件A的概率记为:P(A)
我们知道,通过试验和观察的方法可以得到一
些事件的概率估计,但这种方法耗时多,而且得到的仅是概率的近似值。能否通过建立适当的数学模型,直接计算随机事件的概率呢?;
先后抛掷2枚均匀的硬币出现“一枚正面,一枚反
面”的概率是多少?
(正,正),(正,反),(反,正),(反,反);;
探究新知
思考:我们讨论过彩票摇号试验、抛掷二枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验.它们的共同特征有哪些?
考察这些试验的共同特征,就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性.可以发现,它们具有如下
共同特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等。
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.;
课堂探究
思考:考虑下面两个随机试验,如何度量事件A和B发生的可能性大小?
(1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生”;
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次,事件B=“恰好一次正面朝上”;
引入新知
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n
个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义
事件A的概率
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数。;
(1)向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落
在圆内任意一点都是等可能的,你认为是古典概型;
(2)射击运动员向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环、.....命中1环和命中0环(即不命中),你认为这是古典概率模型吗?为什么?;
课堂典例
例7、单选题是标准化考试的常用题型,一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。若考生掌握了考察的内容,就能选择唯一正确的答案;假设考生不会做,他随机的选择一个答案,问他答对的概率是多少?;
课堂探究
思考:在标准化的考试中也有多选题,多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案(四个选项中至少有一个选项是正确的),你认为单选题和多选题哪种更难选对?为什么?
正确答案的所有可能的结果:
(1)如果只有一个正确答案是对的,则有4种;
(2)如果有两个答案是正确的,则正确答案可以是AB,AC,AD,
BC,BD,CD,共6种
(3)如果有三个答案是正确的,则正确答案可以是ABC,ABD,
ACD,BCD,共4种
(4)所有四个都正确,则正确答案只有1种。
正确答案的所有可能结果有4+6+4+1=15种,从这15种答案中任选一种的可能性只有1/15,因此更难猜对。;;
课堂典例
例8抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出此试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;
(2)求下列事件的概率:
A=“两个点数之和是5”;
B=“两个点数相等”;
C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解:(1)样本空间Q={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}.共有36个样本点.;
例8、抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(2)求下列事件的概率:
A=“两个点数之和是5”;
B=“两个点数相等”;
C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.;
课堂探究
思考:在上例中,为什么要把两枚骰子标上记号?如果不给两枚骰子标记号,会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?
如果不给两枚骰子标记号,则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子,如抛掷出的结果是1点和2点,有可能第一枚骰子的结果是1点,也有可能第二枚骰子的结果是1点.这样,(1,2)和(2,1)的结果将无法区别.
当不给两枚骰子标记号时,试验的样本空间Ω?={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≤n},则n(Q?)=21.其中,事件A=“两个点数之和是5”的结果变为
A={(1,4),(2,3)},这时;
课堂探究
思考:同一个事件的概率,为什么会出现两个不同的结果呢?
可以发现,36个结果都是等可能的;而合并为21个
可能结果时,(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等,这不符合古典概型特征,所以不能用古典概型公式计算概率,;
课堂小结
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