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重难点突破(七)立体几何中的综合问题
随着高考改革的不断深入,立体几何中的翻折、探究、动态等问题备受命题者青睐.解决此类问题的关键是“以静制动”,将其转化为平面几何问题,通过构造函数、基本不等式等方法加以解决.
聚焦考点课堂演练
聚焦考点课堂演练
考点1
考点1翻折问题
【例1】如图,已知Rt△ABC和Rt△DBC,AB=AC,BC=2BD=2,A=90°,D=90°,将Rt△ABC翻折到△ABC的位置,使二面角A-BC-D成30°角,E为边CD上的点,且CE=2ED.
(1)证明:BC⊥AE;
(2)求直线AD与平面ABC所成角的正弦值.
方法技巧
翻折问题的两个解题策略
跟踪训练
如图,已知△ABC为等边三角形,D,E分别为AC,AB边的中点,把△ADE沿DE折起,使点A到达点P,平面PDE⊥平面BCDE,若BC=4,求直线DE到平面PBC的距离.
考点2
考点2探究性问题
【例2】如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PB⊥AC,点P在底面ABC上的射影为点H.
(1)证明:PC⊥AB;
(2)设PH=HA=HB=HC=2,对于动点M,是否存在λ,使得CM=λCP,且BM与平面PAB所成角的余弦值为45?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由
方法技巧
利用空间向量巧解探究性问题的策略
(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探究性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断;
(2)解题时,把结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的解”等问题,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.
提醒探究线段上是否存在点时,注意三点共线条件的应用.
跟踪训练
如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=2,∠CDA=45°.
(1)求证:平面PAB⊥平面PAD;
(2)设AB=AP,在线段AD上是否存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.
考点3
考点3动态问题
考向1轨迹问题
【例3】(1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱AB的中点,动点P在侧面BCC1B1上运动,若AP⊥D1M,则动点P的轨迹为()
A.两个点 B.线段
C.圆的一部分 D.抛物线的一部分
(2)点P为棱长是25的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点,点M为B1C1的中点,若满足DP⊥BM,则动点P的轨迹的长度为()
A.π B.2π
C.4π D.25π
方法技巧
解决动点轨迹问题的方法
(1)几何法:根据平面的性质进行判定;
(2)定义法:转化为平面轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用代替法进行计算;
(3)特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.
考向2空间位置关系的判定
【例4】(多选)已知P,Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上的动点(不与顶点重合),则下列结论正确的是()
A.AB⊥PQ
B.平面BPQ∥平面ADD1A1
C.四面体ABPQ的体积为定值
D.AP∥平面CDD1C1
方法技巧
解决空间位置关系的动点问题的方法
(1)应用“位置关系定理”转化;
(2)建立“坐标系”计算.
考向3最值(范围)问题
【例5】如图,在四棱锥S-ABCD中,侧面SAD⊥底面ABCD,SA⊥AD,且四边形ABCD为平行四边形,AB=1,BC=2,∠ABC=π3,SA=3.点P在线段SD上且满足SP=λSD,试确定λ的值,使得直线BP与平面PCD所成的角最大
方法技巧立体几何中体积、距离、角的最值(范围)问题,常用的解题思路是:
(1)直观判断:判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大(小)值;
(2)函数思想:通过建系或引入变量,把这类问题转化为函数,从而利用代数方法求解.
跟踪训练
1.如图,正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面垂直,O为正方形ABCD的中心,M为正方形ABCD内一点,且满足MP=MC,则点M的轨迹为()
2.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是线段AB的中点.
(1)证明:BD⊥平面AA1C1C;
(2)若P是线段BC上的动点,求点P到平面B1DE的距离的取值范围.
课后分层跟踪巩固
基础达标A
基础达标A
1.如图,斜线段AB与平面α所成的角为π4,B为斜足.平面α上的动点P满足∠PAB=π6,则点P的轨迹为(
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
2.如图,在正方体ABCD-A1B1
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