2024年浙江全国高中数学联赛初赛竞赛数学试卷.doc

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2024年浙江全国高中数学联赛初赛竞赛数学试卷

一、填空题（每小题8分，共计96分）

1、设集合A=xx?12x?1?0，集合B={x|x2+2x+m?0}

2、设函数f：{1,2,3}→{2,3,4}满足f[f(x)?1]=f(x)，则这样的函数有????????????个．

3、函数y=sin2?x+

4、已知数列{xn}满足：x1=22

5、已知四面体A?BCD的外接球半径为1，若BC=1，∠BDC=60°，球心到平面BDC的距离为???????????

6、已知复数z满足z24=(z?1)510=1

7、已知平面上单位向量a→，b→垂直，c→为任意单位向量，且存在t∈(0,1)，使得向量a→+(1?t)b→

8、若对所有大于2024的正整数n，成立n2024=i=02024a

9、设实数a,b,c∈(0,2]，且b?3a或a+b?43，则max{b?a,c?b,4?2c}的最小值为?

10、在平面直角坐标系xOy上，椭圆E的方程为x212+y24=1，F1为E的左焦点；圆C的方程为(x?a)2+(y?b)2=r2，A为

11、设n为正整数，且k=0n(?1)kC

12、设整数n?4，从编号1，2，?，n的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号．若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为????????????．

二、解答题（13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54分）

13、正实数k1，k2，k3满足k1k2k

f(x)=k1

试问，当k1，k2，k3满足什么条件时，存在A0使得定义在[0,A]

14、设集合S={1,2,3,?,997,998}，集合S的k个499元子集A1，A2，?，Ak满足：对S中任一二元子集B，均存在i∈{1,2,?,k}，使得B∈

15、设f(x)，g(x)均为整系数多项式，且deg?f(x)deg?g(x)．若对无穷多个素数p，pf(x)+g(x)

1、【答案】m??3

;

【解析】解集合A=x12x?1，要使A?B，则

2、【答案】10;

【解析】令y=f(x)?1∈{1,2,3}，则f(y)=y+1，对f(1)=2以下三种情况都满足条件：

f(2)=f(3)=2；f(2)=f(3)=3；f(2)=f(3)=4，共3种；

同理对f(2)=3，f(1)=f(3)有3种情况；f(3)=4，f(1)=f(2)也有3种情况，

又f(1)=2，f(2)=3，f(3)=4显然满足条件，

所以满足已知条件的函数共有3×3+1=10个．

（可以看出这种映射的限制仅在值域上，因此也可对值域大小分类讨论．）

3、【答案】34

【解析】令t=sin?x,?1?t?1，原式变形

当t≠0时，12

当t=0时，y=1，

所以y的最大、最小值分别为32，1

其积为34

4、【答案】n

;

【解析】将已知条件变形得1x

将上式从1到n叠加得到1x

即xn

5、【答案】63

【解析】因为球心在平面BDC上的投影就是△BDC

由已知求得△BDC的外接圆半径为3

所以球心到平面BDC的距离为1?3

6、【答案】1

;

【解析】由已知得|z|=|z?1|=1，

解得z=1

7、【答案】2?1

【解析】令a→=(0,1)，b→

于是a→+(1?t)b

由向量a→+(1?t)b→与向量

|a

当θ=π4，t=2?2时，|

注：本题由向量的几何意义也直接得到答案．

8、【答案】1+2024!

;

【解析】因为n=Cn1，n2=2!

设nk=k!C

那么nk+1

以及nC

nk+1=(k+1)!C

所以a1=1，

9、【答案】23

【解析】令t=max{b?a,c?b,4?2c}，则t?b?a，t?c?b，t?4?2c，

当b?3a时，

3t+2t+t?3(b?a)+2(c?b)+4?2c=b?3a+4?4，即t?2

当a+b?4

t+2t+t?(b?a)+2(c?b)+4?2c=4?(a+b)?83，即

当a=13，b=1，

b?a=c?b=4?2c=2

所以max{b?a,c?b,4?2c}的最小值为23

10、【答案】21+

【解析】因为P(3,1)在椭圆上，

所以直线l的方程为3×x12+1×y

由圆的性质可知，直线AP与直线l垂直，

所以圆心坐标(a,b)满足b?1a?3

即圆心坐标轨迹方程为x?y=2，记此直线为l′

要使∠OAF1最大，则过定点O(0,0)和定点F1(?2

设直线l′与x轴相交于点B(2,0)

由切割线定理可知，BA

即有(a?2)

将a?b=2代入上式，

解得a=2+2+22b=

于是解得r