预习第03讲 空间向量基本定理 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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第03讲空间向量基本定理

1.理解空间向量基本定理；

2.掌握基底法用不共线的两个向量表示第三个向量；

3.能够应用空间向量基本定理处理一些简单的立体几何问题.

1空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，

2基底

若三向量a,b,c不共面，我们把(

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示.由基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，

3推论

设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使?OP=xOA+yOB+zOC

【题型一】空间向量基本定理的理解

相关知识点讲解

1空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，

证明存在性：设a,b,c不共面，过点O作OA=

过点P作直线PP平行于OC交平面OAB于点P在平面

过点P作直线P

存在三个数x,y,z，使得OA=xOA=x

∴OP

∴p

唯一性：设另有一组实数x,y

则x

∴x-

∵a,b,c不共面，∴x-

故实数x,y,z是唯一的.

2基底

若三向量a,b,c不共面，我们把(

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示.由基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，

【例】设命题p:a,b,c是三个非零向量；命题q:{a,b

【典题1】若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(????)

A．b，c，a+b B．b，a+c，a+b C．a-b，c，

变式练习

1.正方体ABCD-A1B1

A．AB,AC,AD B．AB,AD

2.若a,b,c

A．a-c,

C．2b-c

【题型二】基底表示空间向量

【典题1】如图所示的三棱锥A-BCD中，令AB=a，AC=b，AD=c，且M，G分别是BC，CD

A．-12a+12b+c

【典题2】如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PD=mPA，PE

A．2 B．3 C．4 D．5

变式练习

1.如图，M为OA的中点，以OA,OC,OD为基底，CM=xOA

??

A．12,-1,0 B．12,0,-1 C．

2.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在线段OA

A．13a+12b+12

3.如图，在圆锥PO中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线PA,PB的中点，CE=2ED，记OA=a,

??

A．13a+12b+c B

4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点

A．12 B．25 C．13

5.如图，在三棱锥O-ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若OD=kOA,OE=m

A．29 B．23 C．32

【题型三】空间向量基本定理的应用

角度1求线段长度

【典题1】在棱长为a的正四面体OABC中，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN2为(????

A．1336a2 B．512a2

变式练习

1.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D

A．6 B．5 C．3 D．2

2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠

A．5 B．22 C．14 D．

3.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=60°

A．3 B．2 C．5 D．6

角度2求角度

【典题1】已知三棱锥P-ABC中，PA=PB=4,PC=1,∠APB=∠APC=∠BPC=π3,M,N,T分别为棱AB,AC,PB的中点，则直线PM与NT所成角的正切值为

A．42 B．43 C．52

变式练习

1.把边长为22的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD与平面CBD所成二面角的大小为60°，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(????

A．14 B．-14 C．-

2.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=2，CC1=2，AA1与AB、

A．14 B．155 C．105

3.正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求：

(1)AF与