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第13讲圆的方程
1.理解圆的定义;
2.掌握圆的标准方程和一般方程;
3.会利用待定系数法或几何法求圆的方程;
4.理解曲线的轨迹方程的概念,会求简单曲线方程.
1圆的定义
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.
2圆的标准方程
x-a2+y-b2=r
3圆的一般方程
x
4求圆方程的方法
(1)待定系数法
先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用一般方程,需要求出D,E,F;
(2)直接法
直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质,如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.
5求轨迹方程
(1)曲线方程的理解
若动点P(x,y)的横坐标x,纵坐标y满足方程fx,y=0,则在直角坐标系中,动点P的轨迹为由方程f
(2)求轨迹方程的方法
①代数法,建立动点的横、纵坐标x,y的方程;
②几何法,通过题中已知条件确定动点符合的几何图形,再求轨迹方程.
(3)代数法求轨迹方程的一般步骤
①设动点的坐标(x,y),
②根据已知条件得到与动点相关的等量关系,进而得到关于x,y的方程;
③化简方程得到动点的轨迹方程.
【题型一】对圆标准方程和一般方程的理解
相关知识点讲解
1圆的定义
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.
2圆的标准方程
x-a2+y-b2=r
证明在直角坐标系中,设圆上任意一点M(x,y),由圆的定义可得MA=r,
由两点距离公式可得(x-a)
两边平方得x-a2+y-b
若点M(x,y)在⊙A上,点M的坐标满足方程(*);反过来,若点M的坐标(x,y)满足方程(*),就说明点M(x,y)在⊙A上.
3圆的一般方程
x
解释
(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b
比如圆(x-1)2+(y-2
但形如x2
比如x2+y2-2x+2y+3=0
(2)D,E,F要满足什么条件方程才能表示圆呢?
证明x2
对其左边进行配方得(x+D
当D2+E2-4F0
当D2+E2-4F=0
当D2+
【典题1】圆(x+1)2+(y+1)2=2的圆心坐标和半径分别为(????
A.(1,1),2 B.(1,1),
C.(-1,-1),2 D.(-1,-1),
【答案】D
【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径.
【详解】根据圆的标准方程(x+1)2
即可得圆心坐标为-1,-1,半径为2.
故选:D
【典题2】已知圆C:x2+y2+mx+1=0的面积为
A.±2 B.±22 C.±42 D
【答案】B
【分析】由题意确定圆的半径,结合圆的面积公式建立方程,解之即可求解.
【详解】因为圆C:x2+
所以S=πr2
故选:B.
变式练习
1.已知圆的圆心在(-3,4),半径为5,则它的方程为(????)
A.x-32+y-4
C.(x+3)2+(y-4)
【答案】C
【分析】根据圆的标准方程得解.
【详解】因为圆心为(-3,4),半径为5,
所以圆的标准方程为(x+3)2
故选:C
2.曲线x2+y2
A.7π B.7π C.3π
【答案】D
【分析】根据圆的一般方程化为圆的标准方程,确定圆的半径,即可求解.
【详解】由x2
得(x+1)2
故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为
S=π
故选:D.
3.若方程x2+y2+mx-my+2=0表示一个圆,则
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【分析】将题设中的一般式方程经配方化成标准方程,依题须使右式大于零,求得m的范围,对选项进行判断即可.
【详解】由方程x2+y2+mx-my+2=0
依题意它表示一个圆,须使m22-20,解得:m-2或m2,在选项中只有
故选:D.
4.方程x2+y2
A.4π B.6π C.8π
【答案】C
【分析】由圆的方程,表示出圆的半径,求出半径的最大值,即可确定面积的最大值.
【详解】方程x2+y
则所给圆的半径r=-
所以当m=2时,半径r取最大值22,此时最大面积是8
故选:C
【题型二】求圆的方程
相关知识点讲解
(1)待定系数法
先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用一般方程,需要求出D,E,F;
(2)直接法
直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质,如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.
【典题1】已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,3),B(﹣2,2),C(1,﹣7),则该三角形外接圆的圆心及半径分别为(????)
A.(2,﹣2),5 B.(1,﹣2),5
C.(1,﹣2),5 D.(2,﹣2),5
【答案】C
【分析】根据题意,设三角形外接圆的圆心为M,其坐标为(a,b),半径为r
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