数值求解常微分方程课件.pptVIP

数值求解常微分方程常微分方程数值解法1.引言2.欧拉法3.龙格-库塔法4.线性多步法5.高阶微分方程

数值求解常微分方程1.引言方程中包含未知函数的导数或者微分的方程叫做微分方程,求解微分方程必须附加某种定解条件.微分方程和定解条件一起组成定解问题,定解条件分为初始条件(初值问题)和边界条件(边值问题)两种.未知函数为一元的微分方程叫做常微分方程,未知函数为多元函数,叫做偏微分方程.微分方程中导数的最高阶叫做微分方程的阶.本章主要讨论一阶常微分方程.

数值求解常微分方程常微分方程在物理学中具有重要意义,牛顿第二定律就表示为一组二阶微分方程.前面提到的著名的三体问题就是由九个二阶常微分方程组成的方程组;在量子力学和电动力学中,由薛定谔及麦克斯韦方程分离变量得到本征值问题也是二阶常微分方程的求解问题.

数值求解常微分方程现考虑上述一阶常微分方程初值问题.在常微分方程中，我们已经掌握了一些典型方程的解析解法。但解析方法只能解一些特殊类型的方程,求解从实际当中得出来的微分方程只能用数值方法求近似解.初值问题也就是由已知点(x,y)求解在某些00点x上满足一定精度的y的近似解。4

数值求解常微分方程即使对有些函数可以求出解析解.但实际应用时,仍需求它在某一点的值,如果解析解的形式比较复杂,还是需要数值方法来求得.例y=1-2xyy(0)=0其解析解如下,要计算具体的函数值y,还需要积分的方法,不如直接用数值法求解.5

数值求解常微分方程2.欧拉法2.1欧拉法(折线法)若将函数y(x)在点xi处的导数y’(x)用(向i前)差商来表示，即再用y近似地代替y(x)，则初值问题就化为ii

数值求解常微分方程上式就是欧拉公式,它有很明显的几何意义:我们知道初值问题中的微分方程的解是平面上的一条曲线，这条曲线上任意点(x，y)的切线的斜率y’(x)等于函数f(x，y)在这点的值，而初值问题的解是过点(x,y)的一条特定的曲线。00

数值求解常微分方程过点(x,y)以f(x,y)为斜率的方程为0000当x=x时得下式,取y1作为解y(x1)的近似解1过(x,y)以f(x,y)为斜率的方程为11118

数值求解常微分方程若已求得点(x,y),过这点,以f(x,y)为斜率的直线nnnn当x=x时得:n+1取y(x)≈y;这样每个x求出对应数值解yn+1nnn+19

数值求解常微分方程还可使用泰勒展开证明欧拉公式：对y(x)在x处泰勒展开有n+1n舍去余项可得欧拉公式

数值求解常微分方程例1:用欧拉法求初值问题的数值解(取h=0.1)。解由已知条件可得欧拉法迭代公式11

数值求解常微分方程

数值求解常微分方程f(x,y)=x-y*y;floaty=0;for(a=0;a=b;a+h){floath=0.1;floata=0.0;floatb=1.0;y=y+h*f(a,y);printf(“x=%f,y=%f”,a,y);}

数值求解常微分方程隐式欧拉公式若将函数y(x)在点x处的导数y’(x)用(向ii后)差商来表示，即欧拉公式变为:14

数值求解常微分方程两步欧拉公式为了改善精度,将函数y(x)在点xi处的导数y’(x)用中心差商来表示，i即欧拉公式变为:误差正比于h度3,是二阶精15

数值求解常微分方程2.2改进的欧拉法欧拉法虽然形式简单，计算方便，但比较粗糙，精度也低。特别当y=y(x)的曲线曲率较大时，欧拉法的效果更差。为了达到较高精度的计算公式，对欧拉法进行改进，将在一点(x，y)的切线斜ii率f(x，y)用两点的平均斜率来代替，即ii

数值求解常微分方程代入欧拉公式得这样得到的点列仍为一折线，只是用平均斜率.来代替原来一点处的斜率。称为改进的欧拉公式。

数值求解常微分方程不难发现，欧拉公式是关于y的显式，只i+1要已知y，经一次计算可立即得到y的值;而ii+1改进的欧拉公式中的y以隐式给出，且y含i+1i+1)中，因此，通常用迭在函数f(x,yi+1i+1求解。具体做法是：先用欧拉公式求出一个(0)y作为初始近似，然后再用改进的欧拉公i+1式进行迭代，即

数值求解常微分方程直到满足则(ε为预给精度)19

数值求解常微分方程2.3预估校正法改进的欧拉公式在实际计算时要进行多次迭代，因而计算量较大。所谓预估校正法，就是先用欧拉公式算出y的预估值y(p)i+1i+1然后再用改进的欧拉公式式进行一次迭代便，得到校正值y(c)i+1，即20

数值求解常微分方程预估：校正：并取虽然上式仅迭代一次，但因进行了预先估计，故精度也有较大的提高。21

数值求解常微分方程在实际计算时，还常常将上式写成下列形式：误差估计:欧拉公式的截断误差为一阶的