空间向量的数量积运算（2课时）导学 2024-2025学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）.docxVIP

1.1.2《空间向量的数量积运算》导学案

一.学习目标

1.认识与理解空间两向量的夹角、数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象）

2.理解与掌握空间向量数量积的性质及其运算律，能利用空间向量的数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理）

二.学习过程（导学、自学）

（一）探究新知1——空间向量的数量积（互学）

1.空间向量的夹角

如图，已知两个非零向量a,b，在空间中任取一点O，作向量OA=a，OB=b，则＝θ(0≤θ

记作θ=

注：特别地，

（1）当θ＝0时，a与

（2）当θ＝π时，a与

（3）当θ＝π2时，我们说a与

温馨提示①两向量的夹角的范围是θ∈，这样两个向量的夹角是唯一确定的，且a,

②两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.

2.空间向量的数量积

如图，已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作

即a?

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0

温馨提示

(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.

(2)向量的数量积是一个实数(数量)，不是向量，它的值可正、可负、可为0.

3.空间向量数量积的性质

设两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，由向量数量积定义

（1）a⊥b

注：当a⊥b

则a?

（2）a2=a?a

注：∵a,a=

则a2=

4.空间向量数量积的运算律

由空间向量数量积的定义可得如下的运算律

对于空间向量a,b,c和实数λ

交换律：a?b

结合律：λa?

分配律：(a+b

（4）完全平方公式：a+b

（5）平方差公式：a+b

注：等式(a?b)c=a?(b?c)，因为(a?b

（二）探究新知2——空间向量的投影向量（互学）

1.向量a向向量b的投影

如图，在空间，向量a向向量b的投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c,且

c=

（注：θ=a,b，e为向量

向量c称为向量a在向量b上的向量.

2.向量a向直线l

类似地，如图，在空间，向量a向直线l的投影，由于向量a是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与直线l

c=

（注：θ=a,b，e为直线l

向量c称为向量a向直线l的

3.向量a向平面β的投影

如图，向量a向平面β的投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A，B，得到向量，向量称为向量a在平面β上的

这时，向量的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.

三.典例分析（互学）

例1如图，在平行六面体ABCD-AB

求:(1)AB?

(2)AC的长(精确到

解：（1）∵

∴AB

（2）∵AC

=

=

=98+56

∴AC

注：据加法的平行四边形法则可知——“平行六面体（包括正方体与长方体）相邻三条棱表示的向量之和总等于它们所夹对角线表示的向量.”

例2如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1

解：∵正方体ABCD-A

∴AB

AB?BC=

如图，过点B作BE⊥AC

则向量AE即为AB在AC1

∴AE

=

=

例3如图，m，n是平面α

求证:l

证明：在平面α内作任意一条直线