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1.1.2《空间向量的数量积运算》导学案
一.学习目标
1.认识与理解空间两向量的夹角、数量积、向量投影以及投影向量的概念;(数学抽象)
2.理解与掌握空间向量数量积的性质及其运算律,能利用空间向量的数量积解决向量的模、夹角问题,以及判断两个向量的垂直关系.(数学运算、逻辑推理)
二.学习过程(导学、自学)
(一)探究新知1——空间向量的数量积(互学)
1.空间向量的夹角
如图,已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作向量OA=a,OB=b,则=θ(0≤θ
记作θ=
注:特别地,
(1)当θ=0时,a与
(2)当θ=π时,a与
(3)当θ=π2时,我们说a与
温馨提示①两向量的夹角的范围是θ∈,这样两个向量的夹角是唯一确定的,且a,
②两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.
2.空间向量的数量积
如图,已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量叫做a与b的数量积(或内积),记作
即a?
规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0
温馨提示
(1)数量积运算中间是“·”,不能写成“×”,也不能省略不写.
(2)向量的数量积是一个实数(数量),不是向量,它的值可正、可负、可为0.
3.空间向量数量积的性质
设两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,由向量数量积定义
(1)a⊥b
注:当a⊥b
则a?
(2)a2=a?a
注:∵a,a=
则a2=
4.空间向量数量积的运算律
由空间向量数量积的定义可得如下的运算律
对于空间向量a,b,c和实数λ
交换律:a?b
结合律:λa?
分配律:(a+b
(4)完全平方公式:a+b
(5)平方差公式:a+b
注:等式(a?b)c=a?(b?c),因为(a?b
(二)探究新知2——空间向量的投影向量(互学)
1.向量a向向量b的投影
如图,在空间,向量a向向量b的投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,且
c=
(注:θ=a,b,e为向量
向量c称为向量a在向量b上的向量.
2.向量a向直线l
类似地,如图,在空间,向量a向直线l的投影,由于向量a是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与直线l
c=
(注:θ=a,b,e为直线l
向量c称为向量a向直线l的
3.向量a向平面β的投影
如图,向量a向平面β的投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A,B,得到向量,向量称为向量a在平面β上的
这时,向量的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
三.典例分析(互学)
例1如图,在平行六面体ABCD-AB
求:(1)AB?
(2)AC的长(精确到
解:(1)∵
∴AB
(2)∵AC
=
=
=98+56
∴AC
注:据加法的平行四边形法则可知——“平行六面体(包括正方体与长方体)相邻三条棱表示的向量之和总等于它们所夹对角线表示的向量.”
例2如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1
解:∵正方体ABCD-A
∴AB
AB?BC=
如图,过点B作BE⊥AC
则向量AE即为AB在AC1
∴AE
=
=
例3如图,m,n是平面α
求证:l
证明:在平面α内作任意一条直线
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