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1.1.2空间向量的数量积运算
一、单选题
1.空间直角坐标系中,从原点出发的两个向量、;满足:,,且存在实数,使得成立,则向量确定时,由构成的空间几何体的侧面积是(????).
A. B. C. D.
2.已知正方体,若,则正方体的棱长等于(????)
A. B. C. D.
3.空间有一四面体A-BCD,满足,,则所有正确的选项为(????????)
①;
②若∠BAC是直角,则∠BDC是锐角;
③若∠BAC是钝角,则∠BDC是钝角;
④若且,则∠BDC是锐角
A.② B.①③ C.②④ D.②③④
4.如图在长方体中,设,,则等于(????)
A.1 B.2 C.3 D.
5.若向量和满足条件,则的值是(????)
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
6.如图,棱长为1的正方体中,点为线段上的动点,点分别为线段的中点,则下列说法错误的是(????)
A.
B.三棱锥的体积为定值
C.
D.的最小值为
7.已知圆锥的底面半径为2,点P为底面圆周上任意一点,点Q为侧面(异于顶点和底面圆周)上任意一点,则的取值范围为(????)
A. B. C. D.
8.如图,二面角的度数为,其棱上有两点、,线段、分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱,若,,则线段的长为(????)
??
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知平行六面体中,,与的交点为,,,则(????)
A. B.
C. D.
10.正方体的棱长为1,体对角线与,相交于点,则(????)
A. B. C. D.
11.在以下命题中,不正确的为()
A.是共线的充分不必要条件
B.若,则存在唯一的实数,使
C.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若,则P,A,B,C四点共面
D.
三、填空题
12.如图,已知平面与平面的夹角为,在平面与平面的交线上有两点,线段分别在平面与平面内,且都垂直于直线,若,,,则线段的长度为.
??
13.已知单位向量两两的夹角均为(,且),若空间向量满足,,则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(O为坐标原点)下的“仿射”坐标,记作,有下列命题:
①已知,,则;
②已知,,其中,则当且仅当时,向量的夹角取得最小值;
③已知,,则;
④已知,,,则三棱锥的表面积.
其中真命题为(写出所有真命题的序号).
14.组,,则.
15.某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形,是底面圆的一条直径,是侧面上一动点,则的最小值为.
四、解答题
16.如图,已知四面体ABCD,E,F分别是BC,CD的中点,化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量;
(1);????????
(2);
(3).
17.已知正四面体的棱长为1,如图所示.
(1)确定向量在直线上的投影向量,并求·;
(2)确定向量在平面上的投影向量,并求.
18.如图,在空间四边形ABCD中,,,,,.
(1)求;
(2)求CD的长.
参考答案:
1.C
【分析】由不等式有解,结合数量积运算,求得,又且,可得围成的空间几何体是以原点为顶点,高为2,母线长为的圆锥,从而根据锥体侧面积公式求得结论.
【解析】由已知得,所以,
即存在实数,使得不等式有解,
则有,解得,
又因为且,所以在方向上的数量投影是,
所以围成的空间几何体是以原点为顶点,高为,母线长为的圆锥,
则其底面半径为,
故由构成的空间几何体的侧面积为.
故选:C.
2.C
【分析】设正方体的棱长为,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量数量积的坐标运算以及等式,可得出关于的等式,由此可得出该正方体的棱长.
【解析】设正方体的棱长为,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,
则、、、,
,,则,可得.
因此,正方体的棱长为.
故选:C.
【小结点评】本题考查利用空间向量数量积求解正方体的棱长,考查计算能力,属于基础题.
3.C
【分析】由题意知,,可判断①;若∠BAC是直角,则,可判断②;设,,由余弦定理可判断③;若且,则,可得可判断④.
【解析】对于①,因为,,所以,,
则,故①不正确;
对于②,若∠BAC是直角,则,
所以∠BDC是锐角,故②正确;
对于③,若∠BAC是钝角,设,,
在中,由余弦定理可得:,
而,所以在中,,
所以∠BDC为锐角,所以③不正确;
对于④,,
若且,则,
因为,
,所以∠BDC是锐角,故④正确;
故选:C.
4.A
【解析】利用向量加法化简,结合向量数量积运算求得正确结果.
【解析】由长方体的性质可知,
,
所以
.
故选:A
5.D
【解析】直接代入数量积求解即可.
【解析】因为和满足条件,
即;
故选:D.
6.C
【分析】证明平面,可判断A;由平面
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