空间向量的数量积运算同步训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

1.1.2空间向量的数量积运算

一、单选题

1．空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、；满足：，，且存在实数，使得成立，则向量确定时，由构成的空间几何体的侧面积是（????）．

A． B． C． D．

2．已知正方体，若，则正方体的棱长等于（????）

A． B． C． D．

3．空间有一四面体A-BCD，满足，，则所有正确的选项为（????????）

①；

②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；

③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；

④若且，则∠BDC是锐角

A．② B．①③ C．②④ D．②③④

4．如图在长方体中，设，，则等于（????）

A．1 B．2 C．3 D．

5．若向量和满足条件，则的值是（????）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

6．如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（????）

A．

B．三棱锥的体积为定值

C．

D．的最小值为

7．已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

8．如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（????）

??

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知平行六面体中，，与的交点为，，，则（????）

A． B．

C． D．

10．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（????）

A． B． C． D．

11．在以下命题中，不正确的为（）

A．是共线的充分不必要条件

B．若，则存在唯一的实数，使

C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面

D．

三、填空题

12．如图，已知平面与平面的夹角为，在平面与平面的交线上有两点，线段分别在平面与平面内，且都垂直于直线，若，，，则线段的长度为.

??

13．已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：

①已知，，则；

②已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值；

③已知，，则；

④已知，，，则三棱锥的表面积.

其中真命题为（写出所有真命题的序号）．

14．组，，则.

15．某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为．

四、解答题

16．如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；

（1）；????????

（2）；

（3）．

17．已知正四面体的棱长为1，如图所示.

(1)确定向量在直线上的投影向量，并求·；

(2)确定向量在平面上的投影向量，并求.

18．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，.

(1)求；

(2)求CD的长.

参考答案：

1．C

【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥，从而根据锥体侧面积公式求得结论.

【解析】由已知得，所以，

即存在实数，使得不等式有解，

则有，解得，

又因为且，所以在方向上的数量投影是，

所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为，母线长为的圆锥，

则其底面半径为，

故由构成的空间几何体的侧面积为.

故选：C.

2．C

【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算以及等式，可得出关于的等式，由此可得出该正方体的棱长.

【解析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、，

，，则，可得.

因此，正方体的棱长为.

故选：C.

【小结点评】本题考查利用空间向量数量积求解正方体的棱长，考查计算能力，属于基础题.

3．C

【分析】由题意知，，可判断①；若∠BAC是直角，则，可判断②；设，，由余弦定理可判断③；若且，则，可得可判断④.

【解析】对于①，因为，，所以，，

则，故①不正确；

对于②，若∠BAC是直角，则，

所以∠BDC是锐角，故②正确；

对于③，若∠BAC是钝角，设，，

在中，由余弦定理可得：，

而，所以在中，，

所以∠BDC为锐角，所以③不正确；

对于④，，

若且，则，

因为，

，所以∠BDC是锐角，故④正确；

故选：C.

4．A

【解析】利用向量加法化简，结合向量数量积运算求得正确结果.

【解析】由长方体的性质可知，

，

所以

.

故选：A

5．D

【解析】直接代入数量积求解即可．

【解析】因为和满足条件，

即；

故选：D．

6．C

【分析】证明平面，可判断A；由平面