数学中的多项式及其应用.docx

数学中的多项式及其应用

一、多项式的定义与基本概念

多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式。

单项式的定义：数与字母的乘积叫做单项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式叫做多项式的项。

多项式的系数：多项式中数字因数叫做多项式的系数。

多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

二、多项式的加减法

多项式加减法的规则：同次幂的字母相加减，系数相加减，字母部分不变。

合并同类项：含有相同字母且相同次数的项叫做同类项，合并同类项时，只把系数相加减，字母部分不变。

三、多项式的乘法

多项式乘以单项式：用单项式的系数分别乘以多项式的每一项，然后把乘积相加。

多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，然后把乘积相加。

四、多项式的除法

多项式除以单项式：将除数乘以商，然后减去被除数，所得的差为余数。

多项式除以多项式：先用除式的每一项去除被除式的每一项，然后把商相加。

五、多项式的应用

解一元二次方程：将方程化为标准形式，然后用求根公式求解。

求解函数的最值：将函数化为标准形式，然后用配方法或求导法求解。

求解几何问题：利用多项式表示几何图形的长度、面积等属性，从而解决问题。

六、多项式的恒等变形

因式分解：将多项式化为几个单项式的乘积的形式。

合并同类项：含有相同字母且相同次数的项叫做同类项，合并同类项时，只把系数相加减，字母部分不变。

移项：改变多项式中某一项的位置。

系数变换：改变多项式中某一项的系数。

七、多项式的图像

一次函数的图像：直线。

二次函数的图像：抛物线。

高次函数的图像：根据低次项的系数和图像，进行适当的变换，可以得到高次函数的图像。

八、多项式与实数、复数的关系

实系数多项式：多项式的系数为实数。

复系数多项式：多项式的系数为复数。

实根与虚根：多项式的实数根叫做实根，多项式的非实数根叫做虚根。

九、多项式的拓展

多项式的导数：对多项式进行求导。

多项式的积分：对多项式进行积分。

多项式的级数：将多项式展开为无穷级数。

以上是数学中关于多项式及其应用的知识点总结，希望对您的学习有所帮助。

习题及方法：

一、多项式的定义与基本概念

习题1：判断下列各组数是否为多项式，若为多项式，指出其次数最高的是哪一项。

3+2x-5x^2

4x^3-2x^2+5x-1

2/x

是多项式，次数最高的是-5x^2

不是多项式

是多项式，次数最高的是4x^3

不是多项式

二、多项式的加减法

习题2：计算下列多项式的和。

2x^2+3x-4+5x^2-2x+1

3a^2-2a+1-(2a^2+3a-4)

7x^2+x-3

a^2-5a+5

习题3：计算下列多项式的差。

(2x^2+3x-4)-(5x^2-2x+1)

(3a^2-2a+1)-2(a^2+a-3)

-3x^2+5x-5

a^2-4a+5

三、多项式的乘法

习题4：计算下列多项式的乘积。

(2x^2+3x-4)*(x+2)

(3a^2-2a+1)*(2a-3)

2x^3+7x^2-8x-8

6a^3-9a^2+2a-3

四、多项式的除法

习题5：计算下列多项式除以单项式的结果。

(2x^2+3x-4)/x

(3a^2-2a+1)/(a-1)

2x+3-4/x

3a-2+1/a-1

五、多项式的应用

习题6：解下列一元二次方程。

x^2-5x+6=0

2x^2+7x-3=0

x1=2,x2=3

x1=1/2,x2=-3/2

习题7：求下列函数的最小值。

f(x)=2x^2-5x+1

g(x)=x^2+2x-3

f(x)的最小值为-1/8

g(x)的最小值为-4

习题8：求下列几何问题的解。

设直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

设矩形的长为5，宽为x，求矩形的面积。

斜边的长度为5

矩形的面积为5x

以上是关于多项式及其应用的一些习题及答案，希望对您的学习有所帮助。

其他相关知识及习题：

一、因式分解

习题9：对下列多项式进行因式分解。

x^2-4

x^2+6x+9

(x+2)(x-2)

(x+3)^2

习题10：对下列多项式进行因式分解。

a^2-8

a^2+4a+4

(a+2)(a-2)

(a+2)^2

二、解一元二次方程

习题11：解下列一元二次方程。

x^2-4=0

x^2+6x+9=0

x1=2,x2=-2

x1=x2