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正多边形的性质及计算

正多边形的性质及计算

一、正多边形的定义

正多边形是指所有边相等、所有角相等的多边形。

二、正多边形的基本性质

1.正多边形的边数记为n，则n称为正多边形的边数。

2.正多边形的内角和为(n-2)×180°。

3.正多边形的每个内角都相等，每个外角都相等。

4.正多边形的对角线互相平分，且对角线的条数为n(n-3)/2。

5.正多边形可以内切于一个圆，圆的半径称为正多边形的内切圆半径。

6.正多边形可以外接于一个圆，圆的直径等于正多边形的对角线。

三、正多边形的计算

1.计算正多边形的周长：周长=边长×n。

2.计算正多边形的面积：面积=边长×边长×√(2/n)-√(n×(n-2))/4。

3.计算正多边形的外接圆半径：外接圆半径=边长×√(n/(4×√(n×(n-3))))。

4.计算正多边形的内切圆半径：内切圆半径=边长×√((n×(n-2))/4)。

四、正多边形的特殊性质

1.正三角形：三边相等，内角为60°，可以内切于一个等边三角形，外接圆半径等于边长。

2.正方形：四边相等，内角为90°，对角线互相垂直平分，可以内切于一个正方形，外接圆半径等于边长的一半。

3.正五边形：五边相等，内角为108°，可以内切于一个五边形，外接圆半径等于边长的(2/√5)倍。

4.正六边形：六边相等，内角为120°，可以内切于一个正六边形，外接圆半径等于边长的(√3/3)倍。

五、正多边形的应用

1.在几何学中，正多边形的研究有助于理解多边形的性质和计算方法。

2.在工程和设计中，正多边形的性质可以应用于建筑、艺术设计等领域。

3.在数学教育中，正多边形的相关知识可以培养学生的逻辑思维和数学计算能力。

正多边形是多边形的一种特殊形式，具有独特的性质和计算方法。通过学习正多边形的性质及计算，可以更好地理解多边形的基本概念，提高数学思维和计算能力。

习题及方法：

1.习题：一个正方形的边长为8cm，求它的面积。

答案：面积=边长×边长=8cm×8cm=64cm2

解题思路：直接利用正方形的性质，计算边长的平方即可得到面积。

2.习题：一个正八边形的边长为5cm，求它的周长。

答案：周长=边长×n=5cm×8=40cm

解题思路：根据正多边形的性质，周长等于边长乘以边数。

3.习题：一个正五边形的边长为6cm，求它的内切圆半径。

答案：内切圆半径=边长×√((n×(n-2))/4)=6cm×√((5×(5-2))/4)=6cm×√(15/4)=6cm×(√15/2)

解题思路：利用正多边形的性质和公式计算内切圆半径。

4.习题：一个正六边形的边长为10cm，求它的外接圆半径。

答案：外接圆半径=边长×(√3/3)=10cm×(√3/3)

解题思路：利用正多边形的性质和公式计算外接圆半径。

5.习题：一个正三角形的三边长为12cm，求它的内角。

答案：内角=60°

解题思路：利用正三角形的性质，三边相等，每个内角都等于60°。

6.习题：一个正四边形的对角线互相垂直平分，且对角线长度为16cm，求它的边长。

答案：边长=对角线长度/√2=16cm/√2=16cm/(√2)=8√2cm

解题思路：利用正四边形的性质和对角线的关系计算边长。

7.习题：一个正七边形的边长为10cm，求它的面积。

答案：面积=边长×边长×√(2/n)-√(n×(n-2))/4=10cm×10cm×√(2/7)-√(7×(7-2))/4=100cm2×√(2/7)-√(21/4)=100cm2×√(2/7)-15/2cm2

解题思路：利用正多边形的性质和公式计算面积。

8.习题：一个正九边形的内切圆半径为6cm，求它的边长。

答案：边长=内切圆半径×√(n/(4×√(n×(n-3))))=6cm×√(9/(4×√(9×(9-3))))=6cm×√(9/4×(√(9×6)))=6cm×√(9/4×(3√6))=6cm×√(27/4×√6)=6cm×(3√6/2)

解题思路：利用正多边形的性质和公式计算边长。

请注意，以上答案和解答思路是根据题目中提供的知识点给出的。在实际学习过程中，学生可以根据自己的理解和掌握程度进行计算和解答。

其他相关知识及习题：

一、圆的性质及计算

1.习题：已知一个圆的半径为10cm，求它的面积。

答案：面积=π×半径2=π×10cm