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重难点突破（六）数列中的综合问题

等差、等比数列的综合问题及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年新高考的热点内容.一般围绕等差、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.

聚焦考点课堂演练

聚焦考点课堂演练

考点1等差、等比数列的综合问题

考点1等差、等比数列的综合问题

性

【例1】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S50.

方法技巧

解决等差数列与等比数列综合问题的一般思路

（1）解决等差、等比数列综合问题的关键在于运用它们的有关知识，理顺两类数列的关系，注意运用等差、等比数列的相关量表示数列中的有关项，从而建立基本量之间的关系进行求解；

（2）注意等差数列与等比数列之间可以相互转化，对正项等比数列取对数可得到等差数列，以等差数列的项为幂指数的同底数的幂值构成等比数列.

跟踪训练

已知数列{bn}和正项等比数列{an}，满足log2an是b1和bn的等差中项.

（1）证明：{bn}是等差数列；

（2）若数列{an}的前n项积Tn满足Tn＝（2）n2＋n，记cn＝an，n为奇数，

考点2数列与不等式的综合问题

考点2数列与不等式的综合问题

性

【例2】设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝nan3.已知a1，3a2，9a

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明：Tn＜Sn

方法技巧

求解数列与不等式综合问题的步骤

（1）根据题目条件，求出数列的通项公式；

（2）根据数列项的特征，选择合适的方法（公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等）求和；

（3）利用（2）中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；

（4）反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.

跟踪训练

若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，S2＝4.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝3anan+1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜m20对所有n

考点3数列与函数的综合问题

考点3数列与函数的综合问题

性

【例3】（1）在正项等比数列{an}中，3为a6与a14的等比中项，则a3＋3a17的最小值为（）

A.23 B.89

C.6 D.3

（2）数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为.

方法技巧

数列与函数综合问题的常见类型

（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象来解决；

（2）已知数列条件，解决函数问题，此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对所给条件化简变形.

跟踪训练

已知数列{an}中，a1＝1，nan＋1－（n＋1）an＝1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn＝sin（π2an＋1）＋cos（πan），求数列{bn}的前2n项和T2n

课后分层跟踪巩固

1.若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴的交点个数为（）

A.0 B.1

C.2 D.不确定

2.已知函数y＝f（x），并且对任意的an∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＜an，n为正整数，则函数y＝f（x）的图象可以是（）

3.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝16，公比q＝12，则Tn取最大值时n的值为

4.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝，数列{an}的所有项的和为.

5.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋n2，{bn}的前n项之积Tn＝2n（

（1）求{an}与{bn}的通项公式；

（2）把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值.

6.设函数f（x）＝x2＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}

（1）求数列{xn}的通项公式；

（2）设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn.

7.在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清（即下题中“已知”后面的