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重难专攻（四）函数零点问题

利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等结构的函数零点个数（或方程根的个数）问题的一般思路：（1）可转化为利用导数研究其函数的图象与x轴（或直线y＝k）在该区间上的交点问题；（2）证明有几个零点时，利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值（最值）、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明f（a）·f（b）＜0.

方法

方法1数形结合法研究函数的零点

【例1】已知函数f（x）＝ex－ax（a∈R），讨论函数f（x）的零点个数

方法技巧

在借助函数图象研究函数零点问题时，要准确画出函数的图象，不仅要研究函数的单调性与极值的情况，还要关注函数值的正负以及变化趋势，把函数图象与x轴有无交点，哪一区间在x轴上方，哪一区间在x轴下方等情况分析清楚，这样才能准确地研究直线与图象交点的个数情况.

跟踪训练

若函数f（x）＝ex（x2－2x＋1－a）－x恒有2个零点，求a的取值范围.

方法

方法2函数性质法研究函数的零点

【例2】已知函数h（x）＝x2＋4－4（xsinx＋cosx），试证明h（x）在R上有且仅有三个零点.

方法技巧

利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.

跟踪训练

已知函数f（x）＝2lnx－x2＋m在［1e，e］上有两个零点，求实数m的取值范围

方法

方法3构造函数法研究函数的零点

【例3】已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝xaax（x＞0），若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求

方法技巧

涉及函数的零点（方程的根）问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.

跟踪训练

已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2lnx，若方程f（x）＝g（x）在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围.

函数零点问题

课后跟踪巩固

1．若函数，则函数零点的个数为（????）

A．1 B．2 C．1或2 D．1或3

2．已知曲线与曲线有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（）

A． B． C． D．

3．若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为_________.

4.已知函数f（x）＝lnx＋ax（a∈R）.若函数f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围

5.已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（a≥1）.

（1）证明：函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减；

（2）当a＝1时，证明：函数f（x）只有一个零点.

6.已知函数f（x）＝x－aex，a∈R.

（1）当a＝1e时，证明：f（x）＋lnx－x＋1≤0在（0，＋∞）上恒成立

（2）讨论函数f（x）的零点个数.

7.已知函数f（x）＝ax与g（x）＝logax（a＞0，且a≠1）.

（1）求曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；

（2）若a＞1，h（x）＝f（x）－g（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围.