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沪科版九年级上第9招证比例式或等积式的七种技巧
例如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,E为CB的中点,ED的延长线交CA的延长线于点F.求证:AC·CF=CB·DF.
【解题秘方】本题用“三点定型法”找相似三角形,即将待证的等积式化为比例式=.
1.[2023·常德]如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,延长DA至E,连接EB,EC.(1)求证:△BAE≌△CAE;【证明】∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD是BC的垂直平分线.又∵E在AD上,∴EB=EC.在△BAE和△CAE中,AB=AC,EB=EC,AE=AE,∴△BAE≌△CAE(SSS).技巧1构造平行线法
(2)在图①中,若AE=AD,其他条件不变得到图②,在图②中过点D作DF⊥AB于F,设H是EC的中点,过点H作HG∥AB交FD于G,交DE于M.求证:①AF·MH=AM·AE;
【证明】①连接AH.∵A,H分别是ED和EC的中点,∴AH为△EDC的中位线.∴AH∥DC.∴∠EAH=∠EDC=90°.∴∠MAH=90°.∵DF⊥AB,∴∠AFD=90°.∵HG∥AB,∴∠FAD=∠AMH.
在△AFD和△MAH中,∠AFD=∠MAH=90°,∠FAD=∠AMH,∴△AFD∽△MAH.∴AF·MH=AM·AD.又∵AE=AD,∴AF·MH=AM·AE.
②GF=GD.【证明】∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵DF⊥AB,∴∠FAD+∠ADF=90°.易知∠ABD+∠FAD=90°,∴∠ABD=∠ADF.∵AB∥HG,∴∠AFD=∠HGD=90°.∵∠AMH=∠GMD,∠MAH=90°=∠DGM.∴∠AHM=∠ADF.∴∠ABD=∠ADF=∠AHM.∴∠AHM=∠DCA.又∵∠MAH=∠ADC=90°,∴△AMH∽△DAC.
【点拨】过某一点作平行线,构造出“A”型或“X”型的基本图形,通过相似三角形转化线段的比,从而解决问题.
技巧2三点定型法2.如图,在?ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于F.求证:.
3.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M为BC的中点,DM⊥BC交CA的延长线于D,交AB于E.求证:AM2=MD·ME.
【证明】∵DM⊥BC,∠BAC=90°,∴∠B+∠BEM=90°,∠D+∠DEA=90°.∵∠BEM=∠DEA,∴∠B=∠D.∵M为BC的中点,∠BAC=90°,∴BM=AM=CM.∴∠B=∠BAM.∴∠BAM=∠D.又∵∠AME=∠DMA,∴△AME∽△DMA.∴AM2=MD·ME.
4.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意一点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N.求证:BP·CP=BM·CN.技巧3构造相似三角形法
【证明】如图,连接PM,PN.∵MN是AP的垂直平分线,∴MA=MP,NA=NP.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=∠1+∠3=60°.∴∠2+∠4=60°.∴∠5+∠6=120°.∵∠6+∠7=180°-∠C=120°,∴∠5=∠7.∴△BPM∽△CNP.∴BP·CP=BM·CN.
5.[2024·安庆潜山期中]如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是BC延长线上一点,连接DE,AE,BD,AE与BD,CD分别交于点F,G.(1)若,AB=6,求DG的长;技巧4等比过渡法
(2)求证:AF2=FG·EF.
技巧5两次相似法6.如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,∠ABC的平分线BE交AC于E,交AD于F.求证:.
【证明】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∠B=∠D.∵AM⊥BC,AN⊥CD,∴∠AMB=∠AND=90°.∴△AMB∽△AND.7.如图,在?ABCD中,AM⊥BC,AN⊥CD,垂足分别为M,N.求证:(1)△AMB∽△AND;
8.如图,CE是Rt△ABC斜边上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BG⊥AP于点G,交CE于点D.求证:CE2=DE·PE.技巧6等积代换法
【证明】∵BG⊥AP,PE⊥AB,∴∠AEP=∠DEB=∠AGB=90°.∴∠P+∠PAB=90°,∠PAB+∠EBD=90°.∴∠P=∠EBD.∴△AEP∽△DEB.∴AE·BE=PE·DE.∵∠CEA=∠BEC=90°,∴∠CA
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