复习第05讲 几何法求空间角和距离 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx

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第05讲几何法求空间角和距离

1.掌握异面直线所成角、线面角、二面角的概念及其求法；

2.掌握利用等积法求点到面距离的方法.

1异面直线所成的角

①范围：θ∈(0°

②作异面直线所成的角：平移法.

如图，在空间任取一点O，过O作a//a,b//b，则a,b所成的

2线面所成的角

①定义

如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则

②范围

直线和平面所成的角θ的取值范围是0°

3二面角

①定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB

②范围二面角的平面角α的取值范围是[0

【题型一】异面直线所成的角

【典题1】如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M?N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为α，则cosα的值为(????)

A．23 B．13 C．34

【答案】A

【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角(或补角)即可求解三角形得出答案.

【详解】提示：如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON?OC，则ON=12AM

所以∠ONC为异面直线AM与CN所成的角(或补角).

由题意，可得AM=CN=DM=3

所以ON=12AM=

OC=M

在△CON中，由余弦定理，可得：cos∠ONC=ON

故选A.

变式练习

1.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑P-ABC中，PB⊥平面ABC，BC⊥CA，且PB=BC=CA=2，M为PA的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为(????)

A．23 B．34 C．33

【答案】C

【分析】如图取PC的中点N，可得MN∥CA，即异面直线BM与AC所成的角为∠BMN，然后利用PB⊥平面ABC，可得两直角三角形的斜边中线长，从而得到求解.

【详解】取PC的中点N，连接MN、

∵M、N分别为PA、PC的中点，则

∴异面直线BM与AC所成的角为∠BMN或其补角．

∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PB⊥BC，PC=P

∴BN=12PC=2，同理可得BM=

∴BN⊥MN，则cos∠BMN=

故选:C．

2.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1

A．90° B．60° C．45° D．30°

【答案】B

【分析】连接FE1,FD，则FE1∥BC1，

【详解】连接FE1,FD，则FE1∥BC

在△EFD中，EF=ED=1,∠FED=120°，

∴FD2=E

在△EFE1和△EE

∴△FE1D

故选：B．

3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=2π3，AA1=AC=2AB=2

A．510 B．515 C．520

【答案】C

【分析】利用异面直角所成角的定义作出所求的角，然后利用余弦定理求解即可.

【详解】如图，延长AB至点D，使AB=BD，延长A1B1至点E，使A1B

易证A1B∥B1D，则异面直线OB1与A1B

交A1C1

连接DF，B1H，OD，由余弦定理得

DF=AF2+AD

易得B1D=5

??

故选：C

【题型二】线面角

【典题1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22a，设E，F分别为PC

(1)求证：平面PAB⊥平面PDC；

(2)求直线EF与平面ABCD所成角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)π

【分析】(1)由PA2+PD2=AD2，可得PA⊥PD，由面PAD⊥面ABCD，可得CD⊥PA，则有PA⊥

(2)求点E到面ABCD的距离和EF的长，可直线EF与平面ABCD所成角的大小．

【详解】(1)在△PAD中，PA=PD=22a

由PA2+PD

由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=

AD⊥CD，CD?平面ABCD，可得CD⊥平面PAD，

又PA?面PAD，则CD⊥PA，????????????????．

又PA⊥PD，CD∩PD=D，CD,PD?面PCD，

则PA⊥平面PCD，又PA?平面PAB，

则平面PAB⊥平面PDC；

(2)取PD中点S，AD中点T，连接ES,ST,TF，又E，F分别为PC,BD的中点，

则ES//CD，ES=12CD

又AB//CD,

则四边形ESTF为平行四边形，则EF=TS，

连接PT，△PAD中，PA=PD,AT=DT，则PT⊥AD，

又面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD