矩阵分析 课件 3.2 Jordan标准形.pptx

3.1Jordan标准形

1、Jordan标准形的定义

定义3.7形如

的方阵叫作

阶Jordan块。

特别的，一阶方阵叫作一阶Jordan块。

定义3.8由若干个Jordan块组成的分块对角矩阵

其中

为

阶Jordan块，

时，这个矩阵叫作n阶Jordan标准形，记为J或

当

定理3.8如果任意

若不计J中的Jordan块的排列顺序，则J由A唯一确定。

Jordan标准形J相似，则Jordan标准形J的对角元素

就是A的特征值。

对角矩阵也是一个Jordan矩阵，它的每个Jordan块是一阶的。

Jordan矩阵特征值恰是对角线元素，对角线上方的次对角线的

的元素可能为1或0。

在Jordan标准形J中，不同Jordan块的对角元素

Jordan块本身就是一个Jordan矩阵。

可能相同

也可能不同。

因为相似矩阵有相同的特征值，因此，若矩阵A与一个

都与一个Jordan标准形J相似，

（ⅰ）特征向量法

2、Jordan标准形的计算

Step1求

特征值及其代数重数，

Step2对每个特征值

，确定其对应的Jordan块。

是A的单特征值，则

只对应一个一阶Jordan块

如果

是A的

重特征值，计算

的几何重数

则

共对应

个以

的Jordan块，这些Jordan块的阶数

Step3A的所有特征值对应的所有Jordan块构成的Jordan矩阵

设A的互不相同的特征值为

代数重数指特征值的重数

如果

之和等于

即为A的Jordan标准形。

几何重数指特征值对应线性无关的特征向量的个数

几何重数小于等于代数重数。

为对角元素

例3.4如果求下列矩阵的Jordan标准形：

（1）

解可求得A特征值为

特征值

只有一个线性无关的特征向量

故A的Jordan标准形为

（2）

A的特征值为

由

可知

以

为特征值的Jordan块有

阶数之和为3。

注：当矩阵A的某一特征值重数较高时，对应的Jordan块的

解

个，

这两个Jordan块中，一个一阶块，一个二阶块，故

阶数可能无法确定。

例3.4如果求下列矩阵的Jordan标准形：

（ⅱ）初等变换法

Step1求出

的全部初等因子为

Step2对每个初等因子

，确定其对应的Jordan块

Step3A的所有初等因子对应的所有Jordan块构成的Jordan矩阵

注：上述Step1中，

可能有相同的。且当

任意一个n阶复矩阵A可以对角化的充分必要条件为

的初等因子全是一次的。

即为A的Jordan标准形。

时，

例3.5求下列矩阵的Jordan标准形：

（1）

解

初等因子为

则A的Jordan标准形为

（2）

因此

的初等因子为

所以A的Jordan标准形

解

例3.5求下列矩阵的Jordan标准形：

（ⅲ）行列式因子法

求A的Jordan标准形。

Step1求

的n个行列式因子

Step2根据定理3.4推论，求

的不变因子；

Step3求A的全部初等因子和Jordan标准形。

行列式因子法是利用行列式因子与初等因子的关系

例3.6求下列矩阵的Jordan标准形：

解

选取

计算得

的一个三阶子式

由于

，所以

从而

于是A的不变因子为

即A的初等因子为

故A的Jordan标准形为

（1）

例3.6求下列矩阵的Jordan标准形：

（2）

解

不变因子为

初等因子为

故A的Jordan标准形为

A的行列式因子为

3、相似变换

矩阵A与Jordan标准形J相似，即存在一个可逆矩阵P，

那么如何求矩阵P呢？

通过求解线性方程组

就可以求出P.

Step1将P按列分块写成

，则有

Step2由于J的对角线元素为A的特征值，对角线上方平行线

可化为如下方程组的形式：

即

其中

或1

Step3依次求解这些方程即可求得

使得

上元素为0或1，因此

例3.7求

的Jordan标准形J，并求出可逆矩阵P，

解可求得A的Jordan标准形为

令

，由

可得

即

分别求解三个方程可得，

可选取

所以，

使得

例3.8求

的Jordan标准形J，并求出可逆矩阵P，

使得

解可求得A的Jordan标准形为

令

，由

可得

即

即

为特征值

的两个线性无关的特征向量，

的通解为

若令

，方程

无解。

若令

，方程

依然无解。

由于方程组

设

再代入

由

可知

时方程

有解。

不妨取

，即

可求得

的解为

可取

，故所用