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第08讲用空间向量研究空间所成角
1.掌握向量法求解异面直线所成角的方法;
2.掌握向量法求解线面角的方法;
3.掌握向量法求解面面角的方法.
1求异面直线a,b所成的角
已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,a,b所成的角为θ,
则cosθ=|cos
2求直线l和平面α所成的角
设直线l方向向量为a,平面β法向量为n,直线与平面所成的角为θ,a与n的夹角为α
则θ为α的余角或α的补角的余角,即有sinθ=|cosα|=a
3空间向量求平面α与平面β的夹角
求法:设平面α与平面β的法向量分别为m,
再设m,n的夹角为φ,平面α与平面β的平面角为θ,则θ为φ或π-φ
则cosθ=|cosφ|=|m
【题型一】向量法求异面直线所成角
相关知识点讲解
已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,a,b所成的角为θ,
则cosθ=|cos
解释
①向量AC,BD所成角AC,BD的范围是
②AC,BD
故cosθ=|cosAC,BD|
【典题1】已知菱形ABCD,∠DAB=π3,将△DAC沿对角线AC折起,使以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(????)
A.35 B.32 C.34
【答案】C
【分析】当三棱锥D-ABC的体积最大时,平面ACD⊥平面ABC,以E为原点,EB,EC,ED分别为x,y,z
【详解】记AC的中点分别为E,因为AD=CD,所以DE⊥AC,
同理,BE⊥AC,记AB=2a,
因为∠DAB=π3,所以
所以BE=DE=a,AE=CE=3
易知,当平面ACD⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积最大,此时∠BED=π
以E为原点,EB,EC,
则A
所以AB=
所以cosAB
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为34
故选:C
变式练习
1.已知点O0,0,0,A1,0,1,B-1,1,2,C-1,0,-1,则异面直线OC与AB
A.36 B.33 C.24
【答案】A
【分析】根据向量公式,转化为求cosOC,
【详解】由已知得OC=
设异面直线OC与AB所成的角为θ,则cosθ=
故选:A
2.在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB,M是PB的中点,则异面直线AM与BD所成角的余弦值为(????)
A.306 B.33 C.63
【答案】D
【分析】利用等角定理找到异面直线AM与BD所成角(或其补角),利用余弦定理即可的解.
【详解】
如图,取OB,OC,OP
不妨设PA=AB=2a,则A(0,-2
则M(2a2,0,2
设?AM,BD
因异面直线AM与BD所成角是锐角,故它们所成角的余弦值为66
故选:D.
3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2,D为B1B上的点,若直线A1C
A.1 B.12 C.22 D
【答案】A
【分析】建系标点,设D(2,0,t),0≤t≤2,可得A1C
【详解】以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、
则A1
设D(2,0,t),0≤t≤2,则A1
所以cosA1C,D
故选:A.
【题型二】向量法求线面角
相关知识点讲解
设直线l方向向量为a,平面β法向量为n,直线与平面所成的角为θ,a与n的夹角为α
则θ为α的余角或α的补角的余角,即有sinθ=|cosα|=a
解释如下图,当θ=π2-α时,sinθ=cosα;当θ=α-
在求直线l和平面β所成的角实际过程中,较难判断平面β的法向量的方向,但不管如何均有sinθ=|cosα|.
【例1】在正方体ABCD-ABCD中,直线BD与平面ABCD所成角为θ,向量DD与向量BD所成角为α,判断cosα与sinθ的关系.
解析因为DD⊥平面ABCD,所以直线BD与平面ABCD所成角θ=∠DBD
而平面ABCD的法向量DD与向量BD所成角α=∠EDD,由图易得θ=α-
所以sinθ=-cosα,
若把平面ABCD的法向量DD改为DD,则θ=π2-α
【典题1】已知直线l的一个方向向量为u=1,0,1,平面α的一个法向量为n=0,-1,1,则l与α
A.12 B.32 C.22
【答案】A
【分析】设出夹角θ,由,求出答案.
【详解】设l与α所成角的大小为θ,
则sinθ=
故选:A
【典题2】如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA⊥底面ABCD,AB=AP=2,E,F分别是线段PB,PD的中点,M
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