预习第12讲 直线的交点坐标与距离公式 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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第12讲直线的交点坐标与距离公式

1.会求两直线的交点；

2.会求两点间的距离；

3.会求点到直线和两平行线间的距离.

1两条直线的交点

设两条直线的方程是l1:

两条直线的交点坐标就是方程组A1x+

(1)若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；

(3)若方程组有无数个解，则两条直线重合.

2经过两直线交点的直线系

过两条已知直线l1:A

A

(λ∈R,这个直线系下不包括直线l2:A2

3两点距离公式

平面上的两点P1(x

4两点距离公式的几何意义

几何问题与代数问题间可相互转化.

形如d=x2-x12

5点到直线的距离公式

点P0(x0,

6两平行直线间的距离

两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+

【题型一】求两直线交点

相关知识点讲解

设两条直线的方程是l1:

两条直线的交点坐标就是方程组A1x+

(1)若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；

(3)若方程组有无数个解，则两条直线重合.

【典题1】过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是()

A．3x+y-1=0B．3x+y+1=0 C．x-3y+13=0 D．x-3y+6=0

变式练习

1.经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线2x-y-1=0的直线方程为(????)

A．x-2y-6=0 B．x+2y-2=0

C．2x-y-3=0 D．2x+y-2=0

2.已知直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直，则它们的交点坐标为()

A．-1,-3 B．-2,-1

C．-12,-1

3.若曲线y=kx及y=x+kk0能围成三角形，则

A．0k1 B．0k≤1 C．k1 D．k≥1

4.直线l1:x+m+1y-2m-2=0与直线l2:m+1x-y-2m-2=0相交于点P，对任意实数m，直线l1,l

A．4 B．8 C．22 D．

【题型二】过两直线交点的直线系

相关知识点讲解

1经过两直线交点的直线系

过两条已知直线l1:A

A

(λ∈R,这个直线系下不包括直线l2:A2

2直线的位置关系

(1)若直线l1:A1x+B

则A1

(2)若直线l1:A1x+B

则A1

【典题1】过直线3x-2y+3=0与x+y-4=0的交点，与直线2x+y-1=0平行的直线方程为(????)

A．2x+y-5=0 B．2x-y+1=0

C．x+2y-7=0 D．x-2y+5=0

变式练习

1.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0

A．3x-19y=0 B．19x-3y=0

C．19x+3y=0 D．3x+19y=0

2.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(????)

A．x+y+1=0 B．x-y+1=0

C．x+y+1=0或3x+4y=0 D．x-y+1=0或x+y+1=0

【题型三】求各种距离

相关知识点讲解

1两点距离公式

平面上的两点P1(x

证明P1

2两点距离公式的几何意义

几何问题与代数问题间可相互转化.

形如d=x2-x12

3点到直线的距离公式

点P0(x0,

证明过点P作PQ⊥l交直线l与Q，

设A≠0,B≠0，由PQ⊥l，以及直线l的斜率为-AB，可得l的垂线PQ的斜率为

因此，垂线PQ的方程为y-y0=

解方程组Ax+By+C=0

得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为B2

于是PQ

因此点P0(x0,

当A=0或B=0时，上述公式仍然成立.

(也可以用向量的方法证明)

【例】点P(1,2)到直线3x+4y-12=0的距离为.

4两平行直线间的距离

两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+

证明在直线Ax+By+C1=0上任取一点Px0,y

因为点Px0,y0在直线Ax+By+C1

【例】两平行线3x-2y-15=0与3x－2y+11=0的距离为________

【典题1】点A-1,1,B2,3，点P在x轴上，则PA+

A．27 B．5 C．4 D．

【典题2】直线l过点P1,2，A2,3和B4,-5两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为

A．4x+y-9=0或3x+2y-8=0 B．4x+y-6=0或3x+2y-7=0

C．4x+y-9=0或2x+3y-8=0 D．4x+y-9=0或2x+3y-8=0

【典题3】设直线l1:x-2y-2=0与l2关