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第19讲抛物线及其标准方程、几何性质
1.掌握抛物线的定义及其标准方程;
2.掌握抛物线的简单几何性质,并会利用其求解平面几何问题;
3.掌握求解抛物线的方程.
1抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线,定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线.
2几何性质
标准方程
y
(p0)
y
(p0)
x
(p0)
x
(p0)
图象
顶点
(0,0)
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
F(
F(-
F(0,
F(0,-
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
离心率
e=1
离心率:抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比|MF|d,叫做离心率
3一些常见结论
①过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A,B两点的线段AB,称为抛物线的“通径”,即|AB|=2p
②若A、B在抛物线y2=2px上
【题型一】抛物线的定义
相关知识点讲解
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线,定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线.
如图,P在抛物线上,
【典题1】已知点Px,y满足(x-1)2+y2=x+1,则点P的轨迹为
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
【答案】C
【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.
【详解】(x-1)2+y2表示点Px,y到点1,0的距离;x+1表示点
因为(x-1)2
所以点Px,y到点1,0的距离等于点Px,y到直线
所以P的轨迹为抛物线.
故选:C.
变式练习
1.到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是
A.y2=8x B.y2=4x C.
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义即可得解.
【详解】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y
所以动点到定点F(1,0)
所以动点的轨迹是以F(1,0)
所以动点的轨迹方程是y2
故选:B.
2.动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M2,0的距离等于2,则点P的轨迹是(????
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
【答案】D
【分析】根据题意可知,动点P到直线的距离与到定点的距离相等,由抛物线的定义可知,点P的轨迹为抛物线.
【详解】如图所示,由于动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M2,0的距离等于2
于是动点P在直线x=-4的右边,且动点P到直线x+4=0的距离大于2,
因此动点P到直线x=-2的距离等于它到点M2,0
进而根据抛物线的定义,可知点P的轨迹是抛物线.
故选:D
3.已知动点P(x,y)满足5(x-2)2+(y-1)2=
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
【答案】D
【分析】等价变形给定等式,再利用式子表示的几何意义,由抛物线的定义可得.
【详解】因为5(x-2)
得(x-2)2
即动点P(x,y)到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-7=0的距离相等,
且点(2,1)不在直线3x+4y-7=0上,
则由抛物线定义知,动点P(x,y)的轨迹为抛物线.
故选:D.
【题型二】求抛物线的标准方程
相关知识点讲解
抛物线的标准方程
标准方程
y
(p0)
y
(p0)
x
(p0)
x
(p0)
图形
焦点
F(
F(-
F(0,
F(0,-
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
解释
(1)求解焦点在x轴正半轴上的抛物线方程
取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合,建立平面直角坐标系xOy,
设KF=p(p0),那么焦点F的坐标为p2,0,准线l的方程为
设Px,y是抛物线上任意一点,点M到准线l的距离为d
因为|PF|=x-p2
化简得y2
(2)涉及抛物线,先看一次项的取值范围确定开口方向,比如y2=-2x中一次项x≤0
可想象下抛物线是鱼缸里的一条鱼,焦点是它眼睛,准线是鱼缸玻璃壁.
【典题1】一个动圆与定圆F:(x-3)2+y2=4
A.y2=6x B.y2=4x C.
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离与点到点之间距离的关系化简即可.
【详解】定圆F:(x-3)2+y2
设动圆圆心P点坐标为(x,y),动圆的半径为r,d为动圆圆心到直线x=-1的距离,即r,
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得,PF-2=r,
所以(x-3)2
化简得:y2
∴动圆圆心轨迹方程为y2
故选:D.
变式练习
1.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,C上一点Mx0,x0
A.y2=2x B.y2=x C.
【答案】D
【分析】根据点Mx0,x
【详解】解:依题意得x0
因为x0≠0,所以
又|MF|=x0+
所以抛物线C的方
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