矩阵分析 课件 第5章 向量与矩阵范数.pptx

第5章向量与矩阵范数5.1向量范数

则称为向量α的范数。且满足条件：定义5.1设是数域上的线性空间，如果对于任意的向量1、向量范数公理?

定理5.1向量范数具有下列性质：（1）（2）（3）

证明：（1）与（2）显然成立。（3）由范数的三角不等式，可得综合二式即得若以代入上式，可得到

例5.1（1-范数）设为中任一向量，规定，证明：中的一种向量范数，这个范数称为向量的1-范数，记作证明：（1）当时，则不全为零，所以当时，必有所以（2）

（3）证毕

例5.2（2-范数）设为中任一向量，规定证明：中的一种向量范数，这个范数称为向量的2-范数，记作证明：（1）当时，则不全为零，所以当时，必有所以（2）

（3）证毕

引理5.1（H?lder不等式）对任意其中

例5.3（p-范数）设为中任一向量，规定证明：中的一种向量范数，这个范数称为向量的p-范数，记作证明：下面只证三角不等式性质

故证毕

例5.4（-范数）为中任一向量，规定证明：中的一种向量范数，这个范数称为向量的-范数，记作证明：下面只证三角不等式性质证毕

定理5.2设为中任一向量，则证明：当时，结论成立。设，又设则有证毕

例5.5设是中的一种向量范数，给定矩阵，对于中的向量，规定则也是中的一种向量范数。证明：（1）当时，则所以，由列满秩性所以（2）

（3）由范数的三角不等式，可得证毕

2、向量范数的等价性定义5.2若和是有限维线性空间中任意两种向量范数，如果存在着使得对于一切则称范数和是等价的

定理5.3有限维线性空间中任意两种向量范数都等价。证明：取定维线性空间的一个基令则是坐标的连续函数，因为

则是坐标的连续函数设和是有限维线性空间中的任意两种向量范数当时，则结论显然成立。有的连续函数，所以也是坐标的连续函数。考虑单位球面因为是有界闭集，是上的连续函数，在上取得最大值与最小值

本节小结010203向量范数公理常见的向量范数向量范数的等价性

P96：1;2;预习：5.2节本节作业

第5章向量与矩阵范数5.2矩阵范数

1、矩阵范数公理定义5.3对于任意复矩阵A，都有一个实数与之对应，且满足

定义5.4

设是一个复矩阵，则例5.6是矩阵范数，且与向量的1-范数相容矩阵的m1-范数证明：可以视为中的向量，所以也就是向量的1-范数，因此是广义矩阵范数，只证相容性

设设

设是一个复矩阵，则例5.7，是矩阵范数，且与向量的2-范数相容矩阵的F-范数

我们证明相容性

定理5.4证明：定理5.5则对任意适当阶酉矩阵U和V证明：

矩阵的m无穷-范数设是一个复矩阵，则例5.8是矩阵范数，且与向量的1，2，无穷-范数相容

我们证明相容性

定理5.6设是上的一种矩阵范数，则在上必存在与之相容的向量范数。

2、矩阵的从属范数?定理5.7

定理5.8A的每列绝对值之和的最大值，称为A的列和范数A的每行绝对值之和的最大值，称为A的行和范数其中的最大特征值，称为A的2-范数（谱半径）导出范数?

定理5.9则对任意适当阶酉矩阵U和V

3、谱半径定义5.5设，为A的n个特征值定理5.10设则（1）（2）（3）A正规

定理5.11设，为任一上的矩阵范数，都有定理5.12设，给定，存在某一个矩阵范数，使

4、条件数定义5.6病态/坏条件的；良态/好条件的

本节小结010203矩阵范数公理常见的矩阵范数矩阵范数与向量范数的等价性0405谱半径条件数

P96：3-10复习：第五章本节作业