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拓展二:利用导数研究不等式能成立(有解)问题(精讲)
目录
第一部分::知识点精准记忆
第二部分:典型例题剖析
重点解法一:分离变量法
重点解法二:分类讨论法
重点解法三:等价转化法
重点解法四:最值定位法解决双参不等式问题
重点解法五:值域法解决双参等式问题
第三部分:高考(模拟)题体验
第一部分:知识点精准记忆
第一部分:知识点精准记忆
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题,可以根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式;
步骤:
①分类参数(注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向)
②转化:,使得能成立;
,使得能成立.
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数,可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解,如果是二次不等式恒成立的问题,可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或,)求解.
3、等价转化法
当遇到型的不等式有解(能成立)问题时,一般采用作差法,构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数,进而只需满足,或者,将比较法的思想融入函数中,转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
(1),,使得成立
(2),,使得成立
(3),,使得成立
(4),,使得成立
5、值域法解决双参等式问题
,,使得成立
①,求出的值域,记为
②求出的值域,记为
③则,求出参数取值范围.
第二部分:
第二部分:典型例题剖析
重点解法一:分离变量法
1.(2023·河南焦作·高二期末(理))若存在,使得不等式成立,则实数k的取值范围为(????)
A. B. C. D.
2.(2023·全国·高二)若关于的不等式在上有解,则实数的取值范围为(????)
A. B. C. D.
3.(2023·福建省福州第一中学高二期中)关于的不等式只有唯一实数解,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
4.(2023·全国·高三专题练习)已知使得不等式成立,则实数的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
5.(2023·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中(理))已知存在,使得成立,则实数的取值范围是__________.
6.(2023·甘肃省民乐县第一中学高二期中(理))已知函数,若,则实数a的取值范围是___________.
7.(2023·全国·高二)若存在正数使成立,则的取值范围是______.
8.(2023·全国·高二专题练习)已知关于x的不等式有解,则实数a的取值范围为________.
9.(2023·福建·莆田二中高二期中)已知函数.
(1)若,求函数的极小值.
(2)存在,使得成立,求实数的取值范围.
10.(2023·河南·邓州市第一高级中学校高二期末(理))已知函数在点处的切线为.
(1)求函数的解析式:
(2)若存在实数m,使得在x时成立,求m的取值范围.
11.(2023·河北深州市中学高三阶段练习)已知函数.
(1)若是的极值点,确定的值;
(2)若存在,使得,求实数的取值范围.
12.(2023·全国·高二专题练习)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若存在,使不等式成立,求实数的取值范围.
重点解法二:分类讨论法
1.(2023·北京·北师大二附中高二阶段练习)设函数,其中是自然对数的底数.
(1)当时,求函数的极值.
(2)若在其定义域内为单调函数,求实数的取值范围.
(3)设,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
2.(2023·辽宁·沈阳二中高二期中)函数,,e为自然对数的底数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,若有且只有唯一整数,满足,求实数a的取值范围.
3.(2023·山西大附中高二阶段练习)已知函数.
(1)若,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若关于x的不等式在上能成立,求实数a的取值范围.
4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=mx--lnx,mR,函数在上为增函数,且.
(1)当m=0时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)求θ的值;
(3)若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)g(x0)成立,求m的取值范围.
5.(2023·广东·金山中学高三阶段练习)已知函数.
(1)当时,证明函数在区间上只有一个零点;
(2)若存在,使不等式成立,求的取值范围.
6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,其中,为自然对数的底数.
(1)判断函数的单调性;
(2)若不等式在区间上恒成立,求的取值范围.
重点解法三:等价转化法
1.(2023·甘肃定西·高二开学考试(理))已知函数,
(1)求在处的切线方程
(2)若存在时,使恒成立,求的取值范围.
2.(2023·全国·高三
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