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1.2空间向量基本定理
【知识点梳理】
知识点01:空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理:
如果空间中的三个向量,,不共面,那么对空间中的任意一个向量,存在唯一的有序实数组,使得.其中,空间中不共面的三个向量,,组成的集合{,,},常称为空间向量的一组基底.此时,,,都称为基向量;如果,则称为在基底{,,}下的分解式.
知识点2:空间向量的正交分解
单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
正交分解:把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
知识点3:用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点:
(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
【题型归纳目录】
题型一:基底的判断
题型二:基底的运用
题型三:正交分解
题型四:用空间向量基本定理解决相关的几何问题
【典型例题】
题型一:基底的判断
例1.(2023·重庆八中模拟预测)若构成空间的一个基底,则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是(???????)
A. B.
C. D.
例2.(2023·全国·高二课时练习)设,,,且是空间的一个基底,给出下列向量组:①;②;③;④,则其中可以作为空间的基底的向量组有(???????)
A.1 B.2 C.3 D.4
例3.(2023·湖南·高二课时练习)已知,,是不共面的三个向量,下列能构成一组基的是(???????)
A.,, B.,,
C.,, D.,,
例4.(多选题)(2023·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习)若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是(?????)
A.,, B.,, C.,, D.,,
【方法技巧与总结】
空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底.
题型二:基底的运用
例5.(2023·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习)如图,OABC是四面体,G是的重心,是OG上一点,且,则(???????)
A. B.=
C.= D.=
例6.(2023·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习)在四面体中,,,,点在上,且,是的中点,则(???????)
A. B.
C. D.
例7.(2023·江苏南通·高二期中)如图所示,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,M为OA中点,N为BC中点,则等于(??????????)
A. B. C. D.
例8.(2023·江苏·泰州中学高二期中)在四棱柱中,,,则(???????)
A. B.
C. D.
【方法技巧与总结】
1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
题型三:正交分解
例9.(2023·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习)设是空间的一个单位正交基底,且向量,是空间的另一个基底,则用该基底表示向量____________.
例10.(2023·江苏镇江·高二期中)若是一个单位正交基底,且向量,,______.
例11.(2023·广东·广州市培英中学高二阶段练习)向量是空间的一个单位正交基底,向量在基底下的坐标为,则在基底的坐标为__________.
例12.(2023·全国·高一专题练习)向量正交分解中,两基底的夹角等于(?????)
A.45° B.90° C.180° D.不确定
【方法技巧与总结】
正交基底的三个向量共起点
题型四:用空间向量基本定理解决相关的几何问题
例13.(2023·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=60°,∠DAA1=120°.求:
(1)的值.
(2)线段AC1的长
例14.(2023·全国·高二课时练习)已知空间四边形OABC中,,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OG⊥BC.
例15.(2023·全国·高二专题练习)已知平行六面体的底面是边长为1的菱形,且,.
(1)证明:;
(2)求异面直线与夹角的余弦值.
例16.(2023·福建宁德·高
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