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2023-2024学年二学期期末联考高一数学试题
说明:1.本试卷共4页,满分150分.
2.请将所有答案填写在答题卡上,答在试卷上无效.
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.如图,一个电路中有三个电器元件,每个元件正常工作的概率均为,这个电路是通路的概率是()
A. B. C. D.
2.已知向量,若,则()
A. B. C. D.
3.设,则()
A. B. C. D.
4.设l是直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
5.已知的对角线和相交于点O,且为线段中点,则()
A. B. C. D.
6.对于概率是千分之一的事件,下列说法正确的是()
A.概率太小,不可能发生 B.1000次中一定发生1次
C.1000人中,999人说不发生,1人说发生 D.1000次中有可能发生1次
7.如图,在四棱锥中,底面是正方形,,侧棱底面,是的中点,是内的动点,,则的轨迹长为()
A. B. C. D.
8.在正方体中,分别是线段与的中点,现有如下结论:
①直线与直线所成的角为;②;
③;④平面.
则正确结论的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)
9.下列各对向量中,共线的是()
A. B.
C. D.
10.若复数的模为5,虚部为,则复数可以为()
A. B. C. D.
11.由于国庆期间有七天长假,不少电影选择在国庆档上映.已知A,B两部电影同时在9月30日全国上映,每天的票房数据统计如图所示.
下列结论中正确的有()
A.这8天A电影票房平均数比B电影票房的平均数大
B.这8天A电影票房的方差比B电影票房的方差大
C.这8天A电影票房的中位数与B电影票房的中位数相同
D.根据这8天的票房对比,预测10月8日B电影票房超过A电影票房的概率较大
12.如图,已知六棱锥的底面是正六边形,平面,,则下列结论正确的是()
A. B.平面平面
C.直线平面 D.直线与平面所成的角为
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.的内角,,所对的边分别为,,.已知,则________.
14.若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为___________
15.对个复数,,…,,如果存在不全为零的实数,,…,,使得等式,则称复数,,…,线性相关,反之,称为线性无关.那么复数,,的关系为__________.
16.如图所示,在四棱柱中,侧面都是矩形,底面四边形是菱形,且,,若异面直线和所成角的大小是,则的长度是_________.
四、解答题(共70分)
17.已知复数,.
(1)若z是纯虚数,求m的值;
(2)若z在复平面内对应的点在直线上,求m的值;
(3)若z在复平面内对应点在第四象限,求m的取值范围.
18.如图①,在菱形中,且,为中点.将沿折起使,得到如图②所示的四棱锥,求证:平面
19.已知,,且与的夹角为,求:
(1);
(2)与的夹角;
(3)若向量与平行,求实数的值.
20.为了解网民对某专辑的满意度,某机构从网络上随机选取了1000名网民进行问卷调查,并将问卷中的这1000人根据其满意度评分值(百分制,满意度评分值均在内)分成,,,,5组,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值,并求出满意度评分值的平均数和中位数(同一组数据用该组区间的中点值为代表);
(2)用分层抽样的方法从满意度评分值在,内的网民中抽出6人,再从这6人中随机抽取3人进行专访,求抽到的3人满意度评分值均在内的概率.
21.在中,内角所对的边分别是,且.
(1)求角;
(2)若是的角平分线,,的面积为,求的值.
22.如图所示,在四棱锥中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边中点,求证:BG⊥平面PAD;
(2)求证:AD⊥PB.
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