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高中物理强基计划-第5部分-能量与动量

动量和能量是高考的重点，也是高中物理课程的重点，同学们平时已经进行了大量的练习。在这个模块中，我们对动量和能量的内容进行一些拓展，主要包括二维情况、流体问题及质心系中的应用

1、二维动量定理

在高中课程中我们已经学习过动量定理，并指出动量定理是矢量式，但所研究的问题基本都是一维情况。在这个模块中，我们研究一些二维平面问题。在应用动量定理时，既可以在某一方向使用，

也可以通过正交分解在两个方向上同时使用，即。具体方法请大家结合例题学习。

【例1】某小球质量为m,与地面之间的动摩擦系数为μ,现将小球从高度为h处以初速度vo平抛。小球与地面碰撞后，竖直方向的分速度大小不变，求小球与地面碰撞后水平方向的分速度大小(假设v。很大，小球与地面碰撞后水平方向的分速度不会减为零，且碰撞过程时间极短，重力冲量不计)

【解析】以竖直向上为y轴正方向，vo方向为x轴正方向。

小球落地时竖直方向速度v,=-√2gh,

小球与地面碰撞过程，对水平、竖直方向分别应用动量定理得：

I,=Nt=(-my,)-my,

L=-ft=mvx-my?

且f=μN

联立解得：v=v?-2μ√2gh

【答案】vn-2μ√2gh

【例2】一袋面粉(可看做质点)沿着与水平面成α=60°角的光滑斜面，从高H处无初速地滑下，落到水平地板上(不弹起),碰撞过程时间极短，不计重力冲量，面粉袋与地板之间的动摩擦因数μ=0.7,求面粉袋停在何处。

【解析】当面粉袋滑到斜面末端时具有沿斜面方向的速度，由于面粉袋与地板碰撞时不会弹起，说明

面粉袋在地板支持力的作用下竖直方向分动量变为零，同时面粉袋水平方向受到摩擦力的作用减速。设面粉袋质量为m,滑到斜面底端时速度为vo,在竖直方向应用动量定理有：N·△tγ=0-(-my,sina);假设△t,=At,则在水平方向上摩擦力产生的冲量为f·At,=μN·△ty=μmyosina≈0.61mv。而与地板碰撞前，面粉袋的水平方向动量为

P.=mcosα=0.5my%。说明实际上摩擦力的存在时间△t,△ty,面粉袋的水平分速度比竖

直分速度先变为零，因此面粉袋停在斜面的末端。

【答案】面粉袋停在斜面的底端

【例3】质量足够大的长平板从t=0时刻开始在水平方向上由静止出发朝右匀加速运动，加速度大小为a。如图所示，在板的上方H高处有一静止的小球，在t=0时刻自由下落，而后与平板发生碰撞。设小球与平板接触时的滑动摩擦系数μ=0.1,小球反弹高度也为H。将小球反弹离开平板时相对地面参考系的速度方向与朝右的水平方向夹角记为β,试求tanβ与a的关系。(碰撞过程时间极短，重力冲量不计)

【解析】小球做自由落体运动，经过时间与平板发生碰撞，且小球与平板发生碰撞前的速度

为v?=√2gH,依题意，小球碰撞后竖直方向速度大小不变。

对小球在竖直方向应用动量定理：(N-mg)At=2my?,由于碰撞作用时间很短，Nmg,

因此有N·At=2myo。

若不考虑板的速度v=ato,则在水平方向应用动量定理有f·At=mv?,f=μN。

联立解得

时，时，当,即

时，

时，

当,即

【答案】见解析

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补充：下面补充一道综合题，有一定计算量。

【补充1】有一质量及线度足够大的水平板，绕竖直轴以角速度匀速旋转。在板的上方h处有一群相同的小球(可视为质点),它们以板的转轴为中心、R为半径均匀地在水平面内排成一个圆周(以单位长度内小球的个数表示其数线密度)。现让这些小球同时从静止状态开始自由落下，设每个球与平板发生碰撞的时间非常短；而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不

变，仅是方向反向；而在水平方向上则会发生滑动摩擦，动摩擦因数为μ。试求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比值η。

【解析】设小球总数为n,第一次碰撞时小球数线密度为

设小球质量为m,某个小球与板碰撞时，在竖直方向有：N·△t√=2m√2gh。若△t,=△ty,小球在△t,时间内获得的水平速度v?小于oR,则有：f·△t,=μN△ty=my,解得：

v=2μ√2gh。小球第一次碰后做斜抛运动，水平射程,第二次落到板上形

成以R=√R+x=√R3+(8