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微专题提优讲义9平面向量与三角形的“四心”

在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力.

一、平面向量与三角形的重心

【例1】已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足OP＝OA＋λ（AB＋AC）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的（）

A.外心 B.内心

C.垂心 D.重心

点评设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①OA＋OB＋OC＝0；②PO＝13（PA＋PB＋PC）；③动点P满足AP＝λ（AB＋AC）或OP＝OA＋λ（AB＋AC），λ∈[0，＋∞），则动点P经过三角形的重心

跟踪训练

在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝.

二、平面向量与三角形的垂心

【例2】已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足OP＝OA＋λAB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC（λ≥

A.重心 B.外心

C.垂心 D.内心

点评设O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；②｜OA｜2＋｜BC｜2＝｜OB｜2＋｜CA｜2＝｜OC｜2＋｜AB｜2；③动点P满足AP＝λ（AB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC）或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜cosB＋AC｜AC

跟踪训练

P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的（）

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

三、平面向量与三角形的内心

【例3】若△ABC的三边为a，b，c，有a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，则O为△ABC的（）

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

点评设O是△ABC的内心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①｜AB｜OC＋｜BC｜OA＋｜CA｜OB＝0（或aOA＋bOB＋cOC＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长）；②动点P满足AP＝λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜），

跟踪训练

在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的内心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（

A.1063

C.43 D.62

四、平面向量与三角形的外心

【例4】在△ABC中，设AC2－AB2＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必经过△ABC的（

A.垂心 B.内心

C.外心 D.重心

点评设O是△ABC的外心，则有以下结论：①｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜?OA2＝OB2＝OC2；②（OA＋OB）·AB＝（OB＋OC）·BC＝（OA＋OC）

跟踪训练

已知点G是△ABC内任意一点，若点D是△ABC的底边BC的中点，满足GD·GB＝GD·GC，则点G的轨迹经过△ABC的（填：重心、内心、垂心或外心）.

课后巩固练习

1.若是内一点，，则是的（）

A．内心B．外心C．垂心D．重心

2.已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（????）．

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

3.已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

4.（多选））已知点是所在平面内一点，下列命题正确的是（????）

A．若，则点是的重心

B．若点是的外心，则

C．若，则点是的垂心

D．若点是的垂心，则

5.(多选）是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（?）

A．

B．在上的投影向量等于.

C．

D．的最小值为

6.已知D是所在平面内一点，且满足，则．

7.设为的内心，，，，则__________

8．已知G为的内心，且，则．