预习第08讲 用空间向量研究空间所成角 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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第08讲用空间向量研究空间所成角

1.掌握向量法求解异面直线所成角的方法；

2.掌握向量法求解线面角的方法；

3.掌握向量法求解面面角的方法.

1求异面直线a,b所成的角

已知a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为θ，

则cosθ=|cos

2求直线l和平面α所成的角

设直线l方向向量为a，平面β法向量为n，直线与平面所成的角为θ，a与n的夹角为α

则θ为α的余角或α的补角的余角，即有sinθ=|cosα|=a

3空间向量求平面α与平面β的夹角

求法：设平面α与平面β的法向量分别为m,

再设m,n的夹角为φ，平面α与平面β的平面角为θ，则θ为φ或π-φ

则cosθ=|cosφ|=|m

【题型一】向量法求异面直线所成角

相关知识点讲解

已知a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为θ，

则cosθ=|cos

解释

①向量AC,BD所成角AC,BD的范围是

②AC,BD

故cosθ=|cosAC,BD|

【典题1】已知菱形ABCD，∠DAB=π3，将△DAC沿对角线AC折起，使以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(????)

A．35 B．32 C．34

变式练习

1.已知点O0,0,0，A1,0,1，B-1,1,2，C-1,0,-1，则异面直线OC与AB

A．36 B．33 C．24

2.在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，M是PB的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为(????)

A．306 B．33 C．63

3.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2，D为B1B上的点，若直线A1C

A．1 B．12 C．22 D

【题型二】向量法求线面角

相关知识点讲解

设直线l方向向量为a，平面β法向量为n，直线与平面所成的角为θ，a与n的夹角为α

则θ为α的余角或α的补角的余角，即有sinθ=|cosα|=a

解释如下图，当θ=π2-α时，sinθ=cosα；当θ=α-

在求直线l和平面β所成的角实际过程中，较难判断平面β的法向量的方向，但不管如何均有sinθ=|cosα|.

【例1】在正方体ABCD-ABCD中，直线BD与平面ABCD所成角为θ，向量DD与向量BD所成角为α，判断cosα与sinθ的关系.

【典题1】已知直线l的一个方向向量为u=1,0,1，平面α的一个法向量为n=0,-1,1，则l与α

A．12 B．32 C．22

【典题2】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD,AB=AP=2,E,F分别是线段PB,PD的中点，M是线段PA上的一点.

(1)证明直线BD//平面AEF;

(2)若直线CM与平面AEF所成角的正弦值为539，试确定点M

变式练习

1.如图，在多面体A1B1C1D1ABC中，侧面四边形A1B1C1D1，AA1B

??

A．13 B．789 C．39

2.如图，△ABC与△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°．

(1)证明：BC⊥AD；

(2)求直线BC与平面ABD所成角的余弦值．

3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为边长为2的正三角形，AA1=3,D

(1)当λ=23时，求证A1

(2)设O1为底面A1B1C1的中心，求直线C

【题型三】向量法求面面角

相关知识点讲解

空间向量求平面α与平面β的夹角

求法：设平面α与平面β的法向量分别为m,

再设m,n的夹角为φ，平面α与平面β的平面角为θ，则θ为φ或π-φ，

则cosθ=|cosφ|=|m

(与线面所成角的情况一样，均由法向量的方向导致两种情况的出现)

【例1】在正方体ABCD-ABCD中，易得平面ACD与平面ABC的法向量分别是

DB、BB，其夹角是φ，二面角D-AC-B为θ，平面ACD与平面ABC的夹角

【典题1】若平面α的一个法向量为n=(1,1,0)，平面β的一个法向量为m=(-1,0,1)，则α与β所成角的大小为(

A．π6 B．π3 C．π4

【典题2】如图，已知四棱锥S-ABCD的底面为矩形，SA=AB=2BC=2，SA⊥平面ABCD，E,F分别为线段AB,SB的中点．

(1)求证：CE⊥平面DEF；

(2)求平面SAD与平面SCE所成二面角的正弦值．

变式练习

1.如图，三棱