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定理4.11设A是任意n阶复矩阵,则矩阵A有QR分解。证(Householder变换方法)将矩阵A按列分块为由定理4.9可知,存在n阶Householder矩阵,使得因此其中是n-1阶复矩阵。再将按列分块为,则存在n-1阶Householder矩阵,使得,(),记则是Householder矩阵,并且其中是n-2阶矩阵,依此类推,到第n-1步有其中都是n阶Householder矩阵。由于的自逆性,所以有其中是酉矩阵,R是上三角矩阵。(Givens变换方法)将矩阵A按列分块为,由定理4.8可知,存在n阶Givens矩阵,使得,因此()对于其第二列,存在n阶Givens矩阵,使得所以()依此类推,最后得到。由此,其中是酉矩阵,R是上三角矩阵。定理4.12设A是任意n阶可逆复矩阵,则矩阵A可以唯一的分解为A=QR。其中Q是n阶酉矩阵,R是具有正对角元素的上三角可逆矩阵。证将矩阵A按列分块为,因为矩阵A可逆,所以线性无关,由Schmidt正交化方法将其正交化:其中再将单位化,得则有所以其中是n阶酉矩阵,R是具有正对角元素的上三角可逆矩阵。再证唯一性。设矩阵A有两个QR分解:,则,其中是具有正对角元素的上三角可逆矩阵,由于,则D仍为n阶酉矩阵,因此D是单位矩阵。所以例4.5试求矩阵的QR分解。解分别用Householder变换,Givens变换和Schmidt正交化方法求矩阵A的QR分解。(Householder变换方法)因为,取,作单位向量则又因为,取,作单位向量则,记,则所以矩阵A的QR分解为:(Givens变换方法)取,则再取,,则所以矩阵A的QR分解为:(利用Schmidt正交化方法)因为,,,可见线性无关,应用Schmidt正交化得到:再单位化得到:因此,所以矩阵A的QR分解为:对于线性方程组来说,如果,则有A=QR,其中Q是n阶酉矩阵,是上三角矩阵。则原方程组等价于,即。由于R是上三角矩阵,则可以通
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