由数列的前n项和sn求通项an的问题探究.doc

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由数列的前n项和sn求通项an的问题探究

广东省深圳市福田外国语高级中学〔518038〕杜贵琼

【内容摘要】数列{}的通项与前n项和的关系问题是高中数学的一个重要知识,也是有关数列知识的高考题中经常考查的内容之一,学生在对与的关系把握中,容易犯错误,下面就与的关系问题作一探究。

【关键字】通项化归等价转化同类转化

定义:数列{}中,我们把称为数列{}的前n项和,根据定义有

,所以。

等差数列的通项与前n项和的关系

〔1〕我们知道,等差数列的前n项和公式为:〔*〕

于是可知,假设〔其中,即〕,所以,即数列{}是以首项为,公差的等差数列。

特别地,当时,,即数列{}是每项为的等差常数列。

〔2〕又因为等差数列的通项公式:

代入〔*〕可得到,即是关于的特殊二次函数的形式。

特别地,当时,,即数列{}是等差常数列。

【例题1】数列{}中,,求。

【解析】∵符合的形式,那么数列{}是等差数列,

∴。

【例题2】数列{}中,求。

∵,

符合的形式,那么数列{}是等差数列,

∴,,∴。

点评:此题也可以应用公式求出通项,但如果熟悉等差数列的与前n和的关系更容易加强理解等差数列的特点。

等比数列的通项与前n项和的关系

〔1〕当时,等比数列的前n项和公式为:=,于是可知当〔其中〕时,所以,数列{}是以为公比的等比数列。

特别地,当时,,于是当数列{}是每项都为等比常数列。

〔2〕当时,又因为=,于是可知当〔其中

〕时,所以,即数列{}以的等比数列。

特别地,当时,,,于是当{}是每项为等比常数列。

【例题1】〔1〕数列{}中,,求。

(2)数列{}中,,求。

【解析】〔1〕∵符合的形式,所以数列{}是等比数列;

∴,即。

〔2〕∵符合的形式,所以数列{}是公比为1的等比数列,即。

【例题2】〔1〕数列{}中,求。

(2)数列{}中,,,求。

【解析】〔1〕∵符合的形式,即数列{}是等比数列且,

∴,∴

〔2〕∵,所以数列{}是公比为1的等比数列,即。

点评:此题也可以应用公式求出通项,但如果熟悉等比数列的与前n和的关系更容易加强理解等比数列的特点。

三、运用公式把转化为求解

【例题1】数列前n项和,求通项公式。

【解析】由得:

于是

所以,即

上式两边同乘以得:

由,得:

于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以

,故

点评:利用相关数列与的关系:,与提设条件,建立递推关系,是此题求解的关键.

四、运用公式把转化为求解

【例题】正数数列{}的前n项和,求{}的通项公式.

【解析】∵,所以=1.

∴+,

∴=,即=1

∴是以1为首项,公差为1的等差数列.

∴,即

∴=-〔n≥2〕,

∴=-.

点评:利用相关数列与的关系:,与提设条件,建立递推关系,是此题求解的关键.

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