空间向量基本定理（2课时）导学案 2024-2025学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）.docxVIP

1.2《空间向量基本定理》导学案

一.学习目标

1.认识与理解空间向量基本定理及其意义，基底与基向量，以及单位正交基底；（数学抽象）

2.根据空间向量基本定理，熟练掌握利用基底表示空间向量的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理、直观想象）

二.学习过程（导学、自学）

（一）探究新知1——空间向量基本定理（互学）

空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不，那么对任意一个空间向量

p=

（二）探究新知2——基底与基向量（互学）

由空间向量基本定理可知：

如果三个向量a，b，

p

这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把叫做空间的一个基底，a

注：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个.

（三）探究新知3——单位正交基底与正交分解（互学）

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两，且长度都为，

那么这个基底叫做基底，常用表示，

由空间向量基本定理可知，对空间中的意向量a均可以分解为三个向量xi

a=

像这样，把一个空间向量分解为三个两两的向量，叫做把空间向量进行分解.

(四)小结（互学）

1.提示一

由空间向量基本定理可知，如果把三个不的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.

2.提示二

进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为间的运算，这为解决问题带来了方便.

三.典例分析（互学）

例1如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点

试用向量OA,OB,

例1解:

∵向量OA,

∴据空间向量基本定理可得

=

=

=

=

=

注：据加法的平行四边形法则可知——“三角形中线所表示的向量等于与它相邻两边表示向量之和的一半”

例2如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4

求证MN

证明：设AB=a

a,b,

则MN=

A

∵MN

=

=

=

∴MN

故MN

温馨提示：利用空间向量解决立体几何问题是我们学习空间向量的意义所在.

例3如图，正方体ABCD-ABC

(1)求证:EF//

(2)求CE与AG

证明（1）：

设DA=

∵{i，

∴EF

∴EF=1

∴EF∥CA(向量共线定理

∴EF

解（2）:

∵CE=

∴cos

=

=

故CE与AG所成角的余弦值为

四.达标检测（迁移变通、检测实践）

1.如图，已知三棱锥O-ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN上一点，且MG=2GN，若记OA=a，OB=b

A.13a+13b+13

【答案】C?

【解析】【分析】

本题考查空间向量基本定理，空间向量的线性运算．

利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把OG用OA，OB和OC线性表示即可．

【解答】

解：如图所示，连接ON，

∵OG=ON+NG，ON=12(OB+OC)，

NG=

2.已知空间向量i,j,k

A.向量i+j+k的模是3

B.{i+j,i-j,k}可以构成空间的一个基底

【答案】BC?

【解析】【分析】

本题考查了空间向量的应用，涉及了空间向量模的求解、空间向量的基底、空间向量的夹角等知识点，考查的知识面广，对学生基础知识掌握的情况有较高的要求，属于中档题．

利用向量的模的性质将i+j+k的模转化为数量积求解，即可判断选项A，利用不共面的向量作为基底判断选项B，