高二数学新教材同步教学讲义(人教A版选择性必修第一册)专题01圆的取值范围与最值问题题型全归纳(原卷版+解析).docxVIP

专题01圆的取值范围与最值问题题型全归纳

【考点预测】

涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：

（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题

【方法技巧与总结】

解决圆中的范围与最值问题常用的策略：

（1）数形结合

（2）多与圆心联系

（3）参数方程

（4）代数角度转化成函数值域问题

【题型归纳目录】

题型一：斜率型

题型二：直线型

题型三：距离型

题型四：长度、周长、面积型

题型五：数量积与角度型

题型六：阿波罗尼斯圆

【典例例题】

题型一：斜率型

例1．(2023·重庆巴蜀中学高二阶段练习）实数满足，那么的最大值为___________.

例2．(2023·江苏·扬州市江都区大桥高级中学高二阶段练习）已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).

(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；

(2)求MQ的最大值和最小值；

(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．

例3．(2023·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值的和是（???????）

A．1 B．0 C． D．

变式1．(2023·全国·高二专题练习）若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是（???????）

A．最大值为2＋，最小值为—2－

B．最大值为2＋，最小值为2－

C．最大值为－2＋，最小值为－2－

D．最大值为—2＋，最小值为2－

变式2．(2023·全国·高二课时练习）已知圆，圆．若过点的直线l与圆、都有公共点，则直线斜率的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

变式3．(2023·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）若实数满足，则的最大值为（????）

A． B． C． D．2

题型二：直线型

例4．(2023·全国·高二课时练习）已知点在圆上运动.

（1）求的最大值；

（2）求的最小值.

例5．（多选题）(2023·浙江温州·高二期中）已知A（4，2），B（0，4），圆，P为圆C上的动点，下列结论正确的是（????）

A．的最大值为

B．的最小值为

C．的最小值为

D．最大时，

例6．（多选题）(2023·浙江省杭州学军中学高二期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（????）

A．的“欧拉线”方程为

B．圆上点到直线的最大距离为

C．若点在圆上，则的最小值是

D．若点在圆上，则的最大值是

变式4．(2023·全国·高二课时练习）已知点是函数的图象上的动点，则的最小值为__________.

题型三：距离型

例7．(2023·全国·高二课时练习）已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值．

例8．(2023·北京市怀柔区第一中学高二期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上．

(1)求圆的标准方程；

(2)设点，动点在圆上，求的最大值和最小值．

例9．(2023·新疆·高二期中）已知点分别为圆与上一点，则的最小值为（????）

A． B． C．3 D．6

变式5．(2023·北京大兴·高二期中）已知、是圆上两个不同的动点，是线段的中点，点满足.

(1)当的坐标为时，求的坐标；

(2)求点的轨迹方程；

(3)求的最小值与最大值.

变式6．(2023·江苏南京·高二阶段练习）已知实数，满足方程，则的取值范围为___________；的最小值为___________.

变式7．(2023·重庆巴蜀中学高二阶段练习）已知圆的方程为：

(1)求实数的取值范围.

(2)当圆半径最大时，点在圆上，点在直线上，求的最小值.

变式8．(2023·全国·高二课前预习）已知实数x，y满足，求的最大值与最小值．

变式9．(2023·河南·南阳市第六完全学校高级中学高二阶段练习）已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为______，最小值为_______，的范围为________．

变式10．(2023·全国·高二课时练习）平面直角坐标系中，，过点作两条直线，被圆M截得弦AB，CD，满足.设线段AC的中点为N，则的最小值为___________.

变式11．(2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，动点在轴上，动点，分别在圆和圆上，则的最小值是__．

变式12．(2023·天津市第二南开中学高二期中）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________.

题型四：长度、周长、面积型

例10．（多选题）(2023·福