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期末模拟卷-2023-2024学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足，则复数z的虚部为（????）

A． B． C． D．2

2．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（???）

??

A．抛一枚硬币，正面朝上的概率；

B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率；

C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率；

D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率．

3．抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法不正确的是（????）

A．当时， B．当时，与不独立

C．当时， D．当时，与不独立

4．设均为单位向量，且，则（????）

A． B． C． D．

5．如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（????）

??

A．22 B．44 C． D．

6．中国古代的花窗花板，既雕工精美，又具有丰富的文化内涵．如图，这是某花窗的平面图（扇形AOB截去扇形COD剩余的部分），已知，，，则（????）

??

A． B． C．8 D．

7．在中，角的对边分别为，已知，若，则的外接圆半径等于（????）

A． B．2 C． D．4

8．一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（???）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知复数，，，则下列说法正确的有（????）

A． B．若，则

C．若，则 D．若且，则

10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数.用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.记“”为事件，“是奇数”为事件，“”为事件，则（????）

A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立

11．已知向量，满足，，且，则（????）

A． B．

C．向量，的夹角是 D．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为.

13．设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，，则；若，，则．

14．如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为．

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知（其中i为虚数单位）.

(1)若为纯虚数，求实数a的值；

(2)若（其中是复数的共轭复数），求实数a的取值范围.

16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，．

(1)求sinA的值；

(2)求的值．

17．2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：

??

(1)请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；

(2)现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.

18．如图所示，在三棱锥中，，．

??

(1)证明：；

(2)若是边长为2的等边三角形，点O到平面ABC的距离为．试问直线OB与平面ABC所成夹角是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值；若不是请说明理由；

(3)在（2）的条件下，取OB中点为P，并取一点Q使得．当直线PQ与平面ABC所成角的正切值最大时，试求异面直线OQ与PC所成角的余弦值．

19．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成的角．

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参考答案：

1．D

【分析】先求出，再结合