向量的数量积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docxVIP

教学设计

课题

向量的数量积

课时安排

一课时

课前准备

图片、PPT

教材内容

分析

以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。

它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。

教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量数量积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．

在讲述向量数量积时要注意：

（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；

（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.

教材中利用定义得到数量积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：

（1）当a,b＝0时，a·b＝|a||b|；当a,b＝时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时数量积为这两个向量模的积；方向相反时数量积为这两个向量模的积的相反数．

（2）|a|＝显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；

（3）cosa,b＝，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；

“a·b＝0ab”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量数量积坐标表示的重要基础．

设计理念

1.利用图片、视频跨学科引入新知，教学过程中利用动画演示夹角，让学生直观感受数量积的不同情形。

2.运用类比的思想，将物理中矢量的乘积运算抽象成数学中的向量的乘法运算。

学情分析

本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。

教学目标

知识目标：

（1）了解平面向量数量积的概念及其几何意义.

（2）了解平面向量数量积的计算公式及其坐标表示

（3）了解平面向量垂直的充要条件及向量的模、夹角的计算公式。

能力目标：

（1）正确进行平面向量的数量积运算，会计算向量的模及夹角的余弦值；

（2）根据条件判断两个向量是否垂直；

（3）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力

情感目标：

（1）经历利用向量工具，建立代数（坐标）与几何（图形）间的关联过程，增强数学思维素养；

（2）参与合作学习的过程，树立团队合作意识．

教学重难点

教学重点

平面向量数量积的概念及计算公式.

教学难点

数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．

教法学法分析：

问题引导、启发探究、互动讨论、合作交流、归纳总结

教学过程

教学环节（一）

师生活动

回顾旧知，情景引入

向量的加法、减法、数乘

2.问题1：水平地面上有一辆车，某人用100N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100m．那么，这个人做了多少功？

（二）动脑思考探索新知

【新知识】

我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则

i+yj，

即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平OxijF

O

x

i

j

F(x,y)

y

W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）

问题2：从功的运算中，可以抽象出向量的那种运算？

BAO图7－23ab这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s

B

A

O

图7－23

a

b

问题3：向量的夹角如何定义？

如图7－23，设有两个非零向量a,b，作＝a,＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作a,b．

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的数量积，记作a·b,即

a·b＝｜a||b|cosa,b(7.10)

上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.

问题4：由数量积的定义可推出？

a·0＝0,0·a＝0．由内积的定义可以得到下面几个