重难点突破（五）三角函数与解三角形中的最值（范围）问题.docx

PAGE3/NUMPAGES3

重难专攻（五）三角函数与解三角形中的最值（范围）问题

三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，

主要涉及两类：一是三角函数式的最值（范围）问题；

二是三角形中的最值（范围）问题，其求解方法多样，

一般常用的方法有：

(1)利用三角函数的性质求最值（范围）；

(2)构造转化为新元函数求最值（范围）；

(3)利用基本不等式求最值（范围）等.

考点1

考点1三角函数式中的最值（范围）问题

性

【例1】（1）函数f（x）＝cosx＋（x＋1）sinx＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（）

A.－π2，π2 B.－3

C.－π2，π2＋2 D.－3π2

（2）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0，｜φ｜≤π2）的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足｜x0｜≤π6，则称f（x）为“近轴函数”.若函数y＝2sin（2x－φ）是“近轴函数”，则φ的取值范围是（

A.［π6，π2］ B.［－π2

C.［－π2，－π6］∪［π6，π2］ D.［－

方法技巧

同角不同次型三角函数与一次（二次）函数结合的函数式求最值问题，一般不能通过三角恒等变换化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，因此不能利用三角函数的性质求最值，常利用导数法先判断给定区间上的单调性（极值），从而求得最值（范围）；或列出关于所求量的不等式（组），进而求出该量的最值（范围）.

跟踪训练

1.已知直线x＝－π6是函数f（x）＝2sin（2x＋φ）（｜φ｜＜π2）图象的一条对称轴，则f（x）在［0，π2］上的值域为

A.[－1，1] B.[1，2]

C.（－1，2] D.[－1，2]

2.函数y＝sinx+52－sinx的最大值是

考点2

考点2三角形中的最值（范围）问题

考向1利用三角函数的性质求最值（范围）

【例2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＋cos2B－cos2C＝1－2sinAsinB.

（1）求角C的大小；

（2）求sinA＋sinB＋sinC的取值范围.

方法技巧

先利用正弦定理化角为边，再利用三角形内角和定理和辅助角公式，将目标函数转化为只含一个角的三角函数，最后利用三角函数的性质求解.

考向2构造转化为新元函数求最值（范围）

【例3】△ABC的三个内角为A，B，C，求当A为何值时，cosA＋2cosB＋C2取得最大值

方法技巧

利用换元法构造关于新元且熟知的函数（如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数等），在新元所在的区间内求最值（范围），有时也可利用导数求最值（范围）.

考向3利用基本不等式求最值（范围）

【例4】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3（a2＋c2－b2）＝－2absinC.

（1）求角B；

（2）若D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC面积的最大值.

方法技巧

跟踪训练

1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，2sinA+1

（1）若B＝π6，求C

（2）若B∈［π6，π4），求c

2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC＋（cosB－22sinB）cosA＝0.

（1）求cosA的值；

（2）若b＋c＝1，求a的取值范围.

课后分层跟踪巩固

基础达标A

基础达标A

1.设函数f（x）＝cosωx（ω＞0），将y＝f（x）的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为（

A.13 B.

C.6 D.9

2.若函数f（x）＝（1＋3tanx）cosx，0≤x＜π2，则f（x）的最大值为（

A.1 B.2

C.3＋1 D.3＋2

3.△ABC的外接圆半径R＝2，C＝2π3，则△ABC面积的最大值为（

A.3 B.23

C.4 D.43

4.设l，l＋1，l＋2是钝角三角形的三边长，则l的取值范围是（）

A.0＜l＜1 B.1＜l＜3

C.3＜l＜4 D.4＜l＜6

5.已知函数f（x）＝cos2x＋sinx－14的定义域为[0，m]，值域为［34，1］，则实数m的最大值为（

A.π B.7

C.4π3

6.（多选）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3（acosC＋ccosA）＝2bsinB，且∠CAB＝π3，若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列结论正确的是（

A.△ABC的内角B＝π

B.△ABC的内角∠ACB＝π

C.△ACD的面积为3

D.四边形ABCD面积的最大值为53

7.设函数f（x）＝sin（2x＋π6），若函数f（x＋φ）是偶函数，则正数φ的最小值为