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第03讲解三角形及其应用
1.掌握正弦定理及其变式,并会利用其解三角形;
2.掌握余弦定理及其变式,并会利用其解三角形;
3.掌握解三角形的常见题型及其解题方法.
1正弦定理
①正弦定理
asinA=bsinB=
②变形
(1)a+b+c
(2)化边为角
a=2Rsin
a:b:c=sinA:sinB:sinC,
a
(3)化角为边
sinA=a2R,sinB=
2面积公式
S
3余弦定理
①余弦定理
a
②变形
cosA=
【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形
【典题1】在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosA=2b-ccos
(1)求角A的大小;(2)若a=3,bc=4,求△ABC的周长.
变式练习
1.在△ABC中,a,b,c是角A,B,C分别所对的边,b=19
(1)求a的值;(2)求cos(B-A)的值
2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且有2bcos
(1)求角B:(2)若AC边上的高h=34b
【题型二】多个三角形问题
【典题1】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanA=3,
(1)求c;
(2)若点D在边BC上,且BD=13a,AD=
变式练习
1.如图,在△ABC中,点D在边BC上,CD=2BD.
(1)若cos∠ADC=-13,AC=233,
(2)若△ABC是锐角三角形,B=π4,求证:
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(cosB+cos
(1)求角A的大小;
(2)若a=32,b+c=6,求△ABC
(3)若c=2,a=5,D为BC
3.已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,C为锐角,满足b=acos
(1)求B的大小;
(2)在线段AC的延长线上取一点F,使得BF=3,CF=1且△BCF的面积为334,求线段
【题型三】三角形最值、范围问题
角度1边长、周长最值或范围问题
【典题1】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足sinA-
(1)求角A;
(2)若△ABC为锐角三角形,且外接圆半径为1,求b+2c的取值范围.
变式练习
1.如图,在平面四边形ABCD中,E为线段BC的中点,∠DAB=90°.
(1)若AD=AB=2,∠ABE=150°,∠C=30°,求
(2)若AD=AB=2,∠C=45°,求AE的最大值.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3b
(1)求角B的大小;
(2)若cb,b=1,求△ABC周长的取值范围.
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin2
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,点F为△ABC的垂心,AF=6,求CF+BF的取值范围.
角度2面积最值或范围问题
【典题1】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsin
(1)求B的大小;
(2)若D是AC边的中点,且BD=2,求△ABC面积的最大值.
变式练习
1.设半圆O的半径为2,而A为直径延长线上的一点,且OA=4.对半圆上任意给定的一点B,以AB为一边作等边三角形ABC,使△ABC和△ABO在AB的两侧(如图所示)
??
(1)若△ABC的面积为73,求∠AOB
(2)当点B在半圆上运动时,求四边形OACB面积的最大值
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinC+
(1)求角C的大小;
(2)若E,F为边AB上的动点(不包括端点),且满足CE⊥CF,求△CEF的面积的取值范围.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,
(1)求证:B=C+π
(2)若a=4,C∈π8,π
【A组基础题】
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos
(1)证明:a+b=2c.
(2)若a=6,cosC=916,求
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2asin
(1)证明:△ABC为等腰三角形.
(2)若D是边BC的中点,AD=34,求△ABC
3.元荡湖位于长三角一体化示范区内,2018年青浦?手吴江启动实施了元荡生态岸线整治,2023年8月实现元荡青浦段岸线全线贯通.如图,为拓展旅游业务,现准备在元荡湖边建造一个观景台P,已知射线AB,AC为元荡湖两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.
(1)求线段MN的长度;
(2)若∠MPN=60°,求
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