矩阵分析 课件 2.2 标准正交基.pptx

2.2标准正交基1、元素的长度与夹角定义2.3设V是欧氏空间，对任意，称非负实数为的长度（或范数，模），记作如果，则称为单位元素。，则元素是一个单位元素。单位化例如，中的向量，其长度为中的矩阵其长度为中的函数，其长度为如果

定理2.1设V是欧氏空间，对任意和，有（1）非负性，当且仅当时，（2）齐次性（3）三角不等式（4）Cauchy-Schwarz不等式当且仅当线性相关时等号成立。证（4）由Cauchy-Schwarz不等式即得；（3）根据Cauchy-Schwarz不等式，于是

定义2.4设为欧氏空间V的两个非零元素，与的夹角定义为对任意，如果，则称与正交（或垂直），记为例2.5在中，试证明三角函数组是两两正交的，但它们不是单位元素。

证可求得因此函数组两两正交。又有所以它们不是单位元素。

2、标准正交基定理2.2设是欧氏空间V中两两正交的证设有一组实数，使得两边与作内积，有利用，得又因非零，所以，故有即线性无关。非零元素组，则它线性无关。

定义2.5在n维欧氏空间中，由n个两两正交的元素组成的中，是一个标准正交基；中，n维单位坐标向量是一个标准正交基；中，是一个标准正交基。基称为正交基，由单位元素组成的正交基称为标准正交基。

Gram-Schmidt正交化设是n维欧氏空间V的一个基，（1）正交化（2）单位化即为n维欧氏空间V的一个标准正交基。

试由的基出发构造一个标准正交基。解首先利用Gram-Schmidt方法将正交化，即例2.6在中定义内积

再将单位化，得则为的一个标准正交基。

例2.7线性空间，对V中任意，定义内积试写出线性空间V的一个标准正交基。解取线性空间V的一个简单基根据所定义的内积，易知它们两两正交，再将其单位化得即为V的一个标准正交基。矩阵

这是因为充分必要条件是它的Gram矩阵，也就是度量矩阵A是单位矩阵。定理2.3n维欧氏空间V中的基是标准正交基中元素的坐标可以通过内积表示。事实上，设，用即得的坐标事实上，设则与等式两边作内积，是的一个标准正交基，欧氏空间在标准正交基下，n维欧氏空间的内积等于对应坐标乘积之和。

定理2.4在欧氏空间中，（1）两个标准正交基间的过渡矩阵是正交矩阵，即过渡矩阵A满足证（1）设及是标准正交基，且有其中，则有即的坐标恰为A的第i列，于是即的两个（2.5）

一个基是标准正交基，则另一个也是标准正交基。（2）如果两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，且其中证设及是且式（2.5）成立，其中A是正交矩阵。如果的两个基，是标准正交基，则即是标准正交基。反之，若是标准正交基，由于且仍是正交矩阵，同前可证得也是标准正交基。

（3）矩阵A为正交矩阵的充分必要条件为列向量组为单位正交向量组。证由（1）的证明过程即知。

本节小结0102元素的长度与夹角标准正交基P43：3;4;5;6;7预习：2.3节本节作业