矩阵分析 课件 3.3 Cayley-Hamilton定理与最小多项式.pptx

3.3Cayley-Hamilton定理与最小多项式1、Cayley-Hamilton定理设是复数域C上关于的多项式对称为矩阵A的多项式。定理3.10设为一多项式，为对应的特征向量为则为的特征值，对应的特征向量仍为并且，如果，则的任意特征值，

定理3.11（Cayley-Hamilton定理），其特征多项式为则证 存在，使得，其中J是A的Jordan标准形，1或0）（由于是A的特征值，因此设记为

从而

例3.10已知，其中，试计算解因为由Cayley-Hamilton定理，，即因此

例3.11已知矩阵，试计算（1）（2）解可求得（1）令，需计算用除，得由Cayley-Hamilton定理知，于是

（2）令，同时假设其中为除以的余式，所以，只需要求出因为可知于是解得故则

2、最小多项式Cayley-Hamilton定理说明一定存在多项式，使得所有使得的多项式中，次数最低的就是我们需要的。定义3.9设是多项式，，则称为A的零化多项式。定义3.10设次数最低的首一多项式称为A的最小多项式，记作如果有，在A的零化多项式中，

定理3.12设零化多项式，且最小多项式是唯一的。证设是A的任一零化多项式，为A的最小多项式。若不能整除，则有为次数低于的非零多项式。由这说明是A次数更低的零化多项式，是A的最小多项式相矛盾。，则A的最小多项式整除A的任一可知与下证唯一性。设A有两个不同的最小多项式和令则是比次数低的非零多项式，与是A的最小多项式的假设矛盾。且

定理3.13相似矩阵有相同的最小多项式。证设与分别是A和B的最小多项式，根据定理3.12，知另一方面，从而因为与都是首一多项式，故注：定理3.13的逆命题不成立。则A与B有相同的最小多项式则例如，设

定理3.14n阶矩阵A的最小多项式等于它的中第n个不变因子即最小多项式求解方法方法一定理3.14结论例如在例3.6中，矩阵，则其最小多项式为特征矩阵

方法二试探法设A的所有互不相同的特征值为A的特征多项式为由于A的最小多项式是A的特征多项式的因式，即又因，由定理3.10知，对A的任意特征值则方法三Jordan块法来计算。事实上其中是A的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数。因此根据定理3.13，可以利用A对应的Jordan标准形的最小多项式

例3.12设，求A的最小多项式。解则由试探法可知，依次计算因此A的最小多项式是

例3.13设，求A的最小多项式，并计算解A的Jordan标准形为故由Jordan块法可知令代入到因为因此中即可。

本节小结0102Cayley-Hamilton定理最小多项式P66：5;6;7预习：3.4节本节作业