矩阵分析 课件 3.4 酉相似下的标准形和正规矩阵.pptx

3.1酉相似下的标准形和正规矩阵1、酉相似下的标准形定理3.15若是一个n维的单位向量，为第一个列向量的酉矩阵Q.定理3.16（Schur）任意方阵可酉相似于一个上三角矩阵U，即存在n阶酉矩阵Q，使得则存在一个以

2、正规矩阵定义3.11设，若A满足，则称A为正规矩阵。酉矩阵、正交矩阵、Hermite矩阵（满足实对称矩阵、反Hermite矩阵（满足实反对称矩阵、对角矩阵等都是正规矩阵。定理3.17??设，则A酉相似于对角矩阵的充分必要条件反Hermite矩阵、实反对称矩阵均可以酉相似于对角矩阵。的矩阵）、的矩阵）、是A为正规矩阵。该定理表明：酉矩阵、正交矩阵、Hermite矩阵、实对称矩阵、

推论1设A是n阶正规矩阵，是A的全部特征值，则(1)A是Hermite矩阵的充分必要条件是A的每个特征值为实数；(2)A是反Hermite矩阵的充分必要条件是A的每个特征值(3)A是酉矩阵的充分必要条件是A的每个特征值的模为1;(4)是特征值对应的特征向量，则是对应的特征向量仍为为0或纯虚数；的特征值，推论2Hermite矩阵相互正交。的不同特征值所对应的特征向量

定义3.12设是Hermite矩阵，如果对任意都有则A称为Hermite正定矩阵（半正定矩阵）。定理3.18设是Hermite矩阵，则下列条件等价：（1）A是Hermite正定矩阵；（2）A的特征值全为正实数；（3）存在矩阵，使得推论Hermite正定矩阵的行列式大于零。

定理3.19设是Hermite矩阵，则下列条件等价：（1）A是Hermite半正定矩阵；（2）A的特征值全为非负实数；（3）存在矩阵，使得定理3.20设，则（1）和的特征值为非负实数；（2）和的非零特征值相同；（3）定理3.21设是Hermite矩阵，则A为Hermite正定矩阵的充分必要条件是A的n个顺序主子式全为正。

本节小结0102酉相似下的标准形正规矩阵P67：8;9;10预习：4.1节本节作业