预习第15讲 椭圆及其标准方程 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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第15讲椭圆及其标准方程

1.掌握椭圆的定义；

2.掌握椭圆的标准方程，并会求椭圆方程；

3.掌握椭圆的焦点三角形，并会处理焦点三角形的相关问题.

1椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.

如图：P是椭圆上一点，P

2椭圆的标准方程

焦点在x轴上的椭圆方程为x2

焦点在y轴上的椭圆方程为y2

3焦点三角形

F1，F2是椭圆x2a2+y2b2

在题目出现焦点三角形?F1PF

【题型一】椭圆的定义

相关知识点讲解

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.

如图：P是椭圆上一点，P

解释

PF1+PF2=2aF

PF1+PF2

PF1+PF

【例】点P到两定点F1(-1,0)，F2(1,0)的距离之和为

解析依题意PF1+P

由椭圆定义可知，动点P的轨迹是椭圆.

【典题1】如果点P(x,y)在运动过程中，总满足关系式(x+4)2+y2+(x-4)2+y2

A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆

【答案】C

【分析】

根据两点间距离公式结合椭圆的定义分析判断.

【详解】可设F1-4,0，F2

可得(x+4)2

由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且a=5，c=4.

故选：C

【典题2】如图，一动圆与圆O1:x+3

??

【答案】椭圆.

【分析】根据椭圆的定义求得动员圆心的轨迹方程.

【详解】圆O1:x+32+

圆O2:x-32+

O1O2=6r2

设动圆圆心为Px,y，动圆半径为r

由于PO

所以P点的轨迹是以O1

??

变式练习

1.已知F1,F2为两定点，F1F2=4，动点M

A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段

【答案】D

【分析】利用椭圆轨迹的相关定义即可得解.

【详解】因为M

所以M为线段F1F

故选：D.

2.平面上到两定点F1-6,0，F26,0的距离之和为14

A．直线 B．椭圆 C．圆 D．线段

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义判断可得；

【详解】因为平面上两定点F1-6,0，F26,0，所以F1F2=12，动点到两定点F1-6,0，

故选：B

3.设定点F1(0,-2),F2(0,2)，动点P满足条件PF1+PF2

A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段

【答案】A

【分析】利用椭圆的定义即可判断.

【详解】因为m2，所以m+4m2

所以点P的轨迹是以F1

故选：A

【点睛】本题考查了椭圆的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.

4.设圆C与O1:x-12+y2=1外切并与O2:

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】B

【分析】根据圆的方程，分别找出圆心O1，O2的坐标，以及两圆的半径，再根据内切，外切中圆半径的关系，找到相关等式，即可得出动点M

【详解】解:由圆O1:x-12+y2=1，圆心

圆O2:x+12+y2=16，圆心

设动圆C圆心Mx,y，半径为r，

根据题意可得M

整理得MO

所以圆心M的轨迹是以O1，O

a=52，c=1的椭圆，

∴动圆C圆心的M的轨迹方程x225

故选：B

【题型二】椭圆的标准方程

相关知识点讲解

焦点在x轴上的椭圆方程为x2

焦点在y轴上的椭圆方程为y2

解释

(1)椭圆标准方程的证明

椭圆具有对称性，以经过椭圆两焦点的直线为x轴，线段F1F2

设P(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，那么焦点F1(-c,0)，

根据椭圆定义可得PF1+P

所以x+c2

两边平方得(x+c)

整理得a2

两边平方得a4

整理得a2

两边同除以a2a2

即动点P的轨迹椭圆对应的方程是x2

由椭圆定义可知2a2c0，即ac0，所以a2

令b2=a2-c2

则我们称x2a

(焦点在y轴上的椭圆类似证明)

【典题1】已知方程x2k+5+y23-k=1表示焦点在

A．(-5,3) B．(-5,-1) C．(-1,3) D．(3,+

【答案】B

【分析】根据题意列出含有参数k的不等式组求解即可.

【详解】根据题意,要使方程x2k+5+y

需满足k+503-k0k+53-k，解得

故选：B.

【典题2】以F1-1,0，F21,0为焦点，且经过点

【答案】B

【详解】方法1因为焦点在x轴上，设椭圆方程为x

因为c=1，所以a2

将1,32代入x2

解得a2=4，b2

方法2根据椭圆的定义得2a=1+12+

因为c=1，所以b2

故椭圆方程为x2

【典题3】已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点，O为坐标原点，则线段

【答案】x2＋y22

【分析】设Q(x，y)，P(x0，y0)，进而可得x0＝2x，y0＝2y，代入椭圆方程即