2024年吉林全国高中数学联赛预赛竞赛数学试卷.doc

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2024年吉林全国高中数学联赛预赛竞赛数学试卷

一、选择题

1、记S=32+4

A.14 B.15 C.16 D.17

2、在四边形ABCD中，AB//CD，AC→=λAB→+μ

A.1

B.1

C.1

D.2

3、函数f(x)=ax3?6x（a∈R)

A.|f(x)|?1对?x∈

B.|f(x)|?32对

C.|f(x)|?18对?x∈

D.|f(x)|?352对

4、在正四面体ABCD中，棱AD的中点和面BCD的中心的连线为MN，棱CD的中点和面ABC的中心的连线为PQ，则MN与PQ所成角的余弦值为（?）．

A.1

B.1

C.1

D.1

5、已知函f(x)=2

A.f(x)的最小值为8

B.f(x)的最小值为9

C.f(x)=8有1个实根

D.f(x)=9有1个实根

6、已知A，B，C是平面上三个不同点，且BC=a，CA=b，AB=c，则ca+b

A.2

B.2

C.2?

D.1?

二、填空题

7、设集合S={1,2,3,4,5}，若S的子集A满足：若x∈A，则6?x∈A，则称子集A具有性质p，现从S的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质p的概率为????????????．

8、函数f(x)=loga?(4?ax)（a0，且a≠1)，若f(x)?1对?x∈[1,2]成立，则实数

9、已知甲、乙、丙、丁四位同学对某10道判断题的解答情况如下表：

若甲、乙、丙三人均答对7题，则丁答对的题数为????????????．

10、已知函数f(x)=ln?x?1x2+2ax?ax

11、设函数f(x)=sin?x?sin?3x，若关于x的方程f(x)=a在(0,π]上有奇数个不同的实数解，则实数

12、在△ABC中，AP平分∠BAC，AP交BC于P，BQ平分∠ABC，BQ交CA于Q，∠BAC=30°，且AB+BP=AQ+QB，则

三、解答题

13、已知椭圆C1的中心为坐标原点O，焦点在坐标轴上．圆C2的圆心为坐标原点O，过点A?2,0且倾斜角为30°

(1)求圆C2

(2)过圆C2上任意一点Px0,y0（x0?y0≠0）作圆C

14、已知数列{a}满足：a1=1，a2

求证：k=12024

15、如图，⊙O1、⊙O2外切于点A，过点A的直线交⊙O1于另一点B，交⊙O2于另一点C，CD切⊙O1于点D，在BD的延长线上取一点F，使得BF

16、全体正有理数的集合Q+被分拆为三个集合A，B，C（即A∪B∪C=Q+，且A∩B=B∩C=C∩A=?），满足B?A=B，B?B=C，B?C=A

(1)给出一个满足要求的例子（即给出A，B，C)．

(2)给出一个满足要求的例子，且1，2，?，35中的任意两个相邻正整数均不同时在A中．

1、【答案】B;

【解析】当m?3时，m2

所以S=

=11+2

=15?2

15?2×3

故正确选项为B．

2、【答案】B;

【解析】设AB→

又AC→

所以AC→

即(1?μ)AC

又AC→、CD

所以1?μ=0λt+μ=0

又λ+μ=3

解得μ=1λ=

从而AB→

所以|CD

故正确选项为B．

3、【答案】C;

【解析】由f?1=?a+6??2f?12=?

又8x3?6x?2=8

8x3?6x?

即|8x3?6x|?2

所以a=8，

经检验，正确选项为C．

4、【答案】A;

【解析】设棱长为a，如图，取ME=a3，取BC的中点为F，连AF，DF，NQ，

可得FN=13FD

故NQ//AD，且NQ=1

所以四边形MNQE是平行四边形，

所以EQ//MN，

在△DPE中，DP=a2，DE=

由余弦定理得，EP

又在△PQE中，PQ=EQ=MN=

由余弦定理得，cos?

所以MN与PQ所成角的余弦值为118

故正确选项为A．

5、【答案】B;

【解析】P(x,x2)

P到直线y=x?1的距离为

|PQ|=|

P到点M(?3,5)的距离为|PM|=(x+3

当M，P，Q共线时，|PQ|+|PM|取最小值，

最小值为M(?3,5)到y=x?1的距离|?3?5?1|2

因为y=

=2

且|PQ|+|PM|的最小值为92

所以y的最小值为9，且在交点P(?2,4)或P(1,1)处取到（如图），

故正确选项为B．

6、【答案】A;

【解析】由题意b+c?a，则

c

?

=

?2

=2

当b+c=a且ca+b

即a=2+12

所以ca+b+b

故正确选项为A．

7、【答案】731

【解析】可列举出集合S的非空子集的个数为25

其中具有性质p的非空