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2023年南京大学计算机拔尖班二次选拔考试数学试题
第一题(20分)
在黑板上写有2023个1,下面进行2022次如下操作:每次操作擦掉黑板上的任
意两个数。和人,并写下(。+人)或者血{。2+//},最后只剩下一个数,把这个数
的最大可能值记为尸・求证:
20232023
Er?Tr
第二题(20分)
设f是定义域为非零实数、值域为实数的函数,对于x,y,zeK,当母z=l时,有
[f⑴]之—/(y)/(z)=x(x+y+z)(/(x)+/(y)+/(z)).
求满足上述条件的所有函数f・
第三题(20分)
若定义域和值域均为5={1,2,.../}的函数f满足:当时,/(%)f(y),则
称f为S的“排列函数”,{x,f(x),f(f(x)),}(xgf的一个“轨道”,
把f的所有不同的轨道个数记为c(f).(例如,如果n=3,f:S^S定义为
/(1)=2/(2)=1/(3)=3,拓的所有不同轨道有{1,2}和{3},于是c(f)=2.)
设k3,n3・,,fk为S的)个排列函数,记f⑴=方(为(…(九⑴))),证明:
c(k)+c(£)c(fQVn(^-l)+c(/)
第四题(20分)
对于正整数〃,可以把〃的所有约数排成一列:四,・・握广求满足存在〃的所有
约数的一个排列,使得《+%+•••+《。=12•••*)均为整数的平方的所有正整数
n・
2023年南京大学计算机拔尖班二次选拔考试数学试题解答
第一题:
本题是2022年加拿大奥林匹克数学竞寒试题・
⑴假设黑板上有n个1时,执行n—1次上述操作后,剩下的数的最大值为Q”.则本题取
r=Q2023•我们来给出{如}的遂推式.可以先列举几个:
Qi=1,=2,Q3=3,Q4=4,«5=5,=9,Q7=10,ag=16,ag=17,Q10
=25.
an=26,ai2=81,ai3=82,44=100,=101,=256.
⑵观察:对于一般的n个1的情形,因为最后一次操作是对黑板上的剩下两馋进行操作,而黑板
上剩下两个数必定分别由TF始的2个1和n—匕个1执行若干次操作得到.再考虑最大值的情形,
那么我们有
an=maxmax{a,+,min{a?,•}}
=maxmax(a(+q“t),maxmin{a?,a^-}
U=12・・,n-1£=1,2,・•J
所以
QnN+Qn-1=1+1•
即{。曷是严格递增的数列.于是
maxmin{a?,a^-}
i=L2,..,”iin~lS
必定是Q1,•--,ani的中位数的平方.所以
72■―2k,
max己-
n=2fc+1.
⑶再来证明下界估计:我们猜测:如3夸对n/1都成立.
我们第二归纳法证明,当n1时,Qn它3夸・
由⑴,结论对1n6都成立・
m允+1
假设当Qm3号对6Vm气n都成立,下证如+i3—.首先
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