精练13 数论（阅读理解）（解析版）.pdfVIP

精练13--数论（阅读理解）

1．阅读理解：

如果一个自然数A能分解成：A＝M×N，其中M和N都是两位数，且M与N的个位数

字之和为7，十位数字之和为8，则称A为“虎数”（字谜：七上八下（打一生肖）），把

A分解成A＝M×N的过程叫做“虎式分解”．

例如：∵1472＝23×64，2+6＝8，3+4＝7，∴1472是“虎数”；

∵391＝23×17，2+1≠8，∴391不是“虎数”．

若自然数A是“虎数”，“虎式分解”为A＝M×N，将M的十位数字与个位数的差，与N

的十位数字与个位数字的和求和记为P（A）；将M的十位数字与个位数字的和，与N的

十位数字与个位数的差求差记为Q（A）．记：F（A）＝．

又如：∵A＝1472＝23×64是“虎数”，∴P（A）＝（2﹣3）+（6+4）＝9，

Q（A）＝（2+3）﹣（6﹣4）＝3，∴F（A）＝＝＝3．

（1）判断195和1736是否是“虎数”？并说明理由；

（2）若自然数A是“虎数”，且F（A）能被5整除，求出所有满足条件的自然数A．

【解答】解：（1）1736是“虎数”，195不是“虎数”，理由如下：

∵1736＝31×56，3+5＝8，1+6＝7，

∴1736是“虎数”，

∵195＝13×15，1+1≠8，

∴195不是“虎数”，

（2）设M的十位数字为a，个位数字为b，

∵自然数A是“虎数”，

∴N的十位数字为8﹣a，个位数字为7﹣b

∵M的十位数字与个位数的差，与N的十位数字与个位数字的和求和记为P（A），M的

十位数字与个位数字的和，与N的十位数字与个位数的差求差记为Q（A），

∴P（A）＝a﹣b+15﹣a﹣b＝15﹣2b，Q（A）＝a+b﹣（8﹣a﹣7+b）＝2a﹣1，

∵F（A）＝且F（A）能被5整除，

∴令F（A）＝＝＝5k，

∵1≤a＜8，0≤b≤7，

∴1≤2a﹣1＜15，1≤15﹣2b≤15，

①当k＝1时，

＝5，即：

或，

解得：或，

当时，

M＝15，N＝72，

∴A＝M×N＝1080，

当时，

M＝20，N＝67，

∴A＝M×N＝1340，

②当k＝2时，无满足条件的a，b，

③当k＝3时，

＝15，即：

，

解得：，

此时M＝10，N＝77，

∴A＝M×N＝770，

综上，A的取值为1080或1340或770．

2．一个十位数字比百位数字大5的四位正整数M，各数位上的数字均不相等且都不为

零．将前两位䍩字组成的新数记为m1，后两位数字组成的新数记为m2，记F（M）＝

，若F（M）为整数，称M为“奥运五环数”．

例如：M＝1276，7﹣2＝5，m1＝12，m2＝76，F（M）＝＝20为整数，∴1276

是奥运五环数；M＝2493，9﹣4＝5，m1＝24，m2＝93，F（M）＝不为

整数，∴2493不是奥运五环数．

（1）判断3168，4387是否为奥运五环数，并说明理由．

（2）S是一个“奥运五环数”也是一个奇数，且各数位数字之和能被5整除，求满足条

件的所有S的值．