2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题(精讲)(原卷版+解析).docxVIP

拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题（精讲）

目录

第一部分：：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

重点解法一：分离变量法

重点解法二：分类讨论法

重点解法三：等价转化法

第三部分：高考（模拟）题体验

第一部分：知识点精准记忆

第一部分：知识点精准记忆

1、分离参数法

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．

③求最值.

2、分类讨论法

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．

3、等价转化法

当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

第二部分：

第二部分：典型例题剖析

重点解法一：分离变量法

1．(2023·安徽·高三阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

2．(2023·全国·模拟预测）已知，不等式，对满足当且时恒成立，则的最大值为（????）

A．1 B．2 C．e D．

3．(2023·四川·成都七中高三阶段练习（理））若，不等式恒成立，则实数m的最大值为（????）

A． B． C． D．1

4．(2023·全国·高二课时练习）设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（????）

A． B． C． D．

5．(2023·云南·昆明市第三中学高三阶段练习）已知函数的导函数满足：，且，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为__________．

6．(2023·浙江·高三阶段练习）若对任意，都有（其中为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为______．

7．(2023·重庆八中高三阶段练习）已知函数.

(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；

(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）

8．(2023·北京·首都师范大学附属密云中学高三阶段练习）已知函数

(1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围.

9．(2023·广东湛江·高三阶段练习）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若不等式恒成立，求a的取值范围．（参考数据：，）

10．(2023·河南·高三阶段练习（文））已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

重点解法二：分类讨论法

1．(2023·重庆·高二期末）已知，不等式对恒成立，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2．(2023·山东潍坊·高二阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．(2023·安徽·高三阶段练习）已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若为整数时，当时，恒成立，求的最小值.

（参考数据：，，…）

4．(2023·四川广安·高三阶段练习（理））设函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，恒成立，求的取值范围.

5．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知函数.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)若对任意恒有，求的最大值.

6．(2023·四川·南江中学高三阶段练习（文））已知函数，．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意恒有，求a．

重点解法三：等价转化法

1．(2023·福建·厦门外国语学校高三阶段练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2．(2023·陕西·大荔县教学研究室高二期末（理））己知函数，，若恒成立，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．(2023·全国·一模（理））已知函数，，若≥恒成立，则实数a的取值范围是(????)

A． B． C． D．

4．(2023·湖北·随州市第一中学高二阶段练习）已知函数，，对，恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

5．(2023·四川广安·高三阶段练习（文））已知函数，（a为常数）．

(1)讨论的单调性；

(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

6．(2023·天津一中高三阶段练习）设函数，，其中，为自然对数的底数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，；

(3)若不等式在时恒成立，求的取值范围．

7．(2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知．