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大单元视域下的初中函数结构化教学

函数是以变量的观点研究现实世界的一种工具，是反映数量关系和变化规律的直观模型，在数学领域具有举足轻重的地位。根据课程标准的要求和数学学科“大概念”的思考，本文从制约函数学习的因素进行剖析，提出了有效的函数结构化教学策略。以大概念为核心，以大单元主题为引领，促进教学内容情景化，实现数学知识横向、纵向连接，促进学生思维螺旋式上升，进一步发展学生的数学核心素养，优化初中数学课程改革。

一、制约初中生函数学习能力提升的因素

函数是初中数学一个非常重要的学习模块，也是学习高中数学乃至高等数学的基础，可是学生学习函数知识是比较困难的，究其原因发现制约初中生函数学习能力提升的主要因素有以下几点：

（一）函数的概念表达抽象

函数概念的产生和发展经历了漫长而复杂的过程，前后大概有200年的历史。中学数学课本对函数的概念采用变量说定义如下：一般的，在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就称y是x的函数。函数的定义是抽象的，学生很难理解，如果教学时对定义不做分析直接给出，这样会导致学生对函数的认知仅仅停留在识记层面，对函数本质的理解是很不利的。

（二）函数教学的跨度过大

以鲁教版数学教材为例，函数内容分布在六年级下册《变量之间的关系》、七年级上册《一次函数》、九年级上册《反比例函数》《锐角三角函数》与《二次函数》。从七年级到九年级，函数的学习中间断开了两年，可是难度却上了一个大台阶，这些内容对于学生而言是模糊的、抽象的、零散的。可是教材又不可能将这些函数凑到一起呈现，毕竟每种函数所需要的知识储备是有梯度的。这就导致学生不仅在学习函数新知时前后知识衔接困难，而且在应用函数知识解决实际问题时更加困难。

（三）学生学习的思维局限

函数是用来刻画变量之间关系的一种工具，数学中的极值问题、动点问题、存在性问题等等，都是在变化的过程中寻找一个静态的瞬间来解决问题，而学生看到了问题中变化的量却往往不会想到利用函数这一工具来解决。这是由于现阶段学生的函数学习重点关注的是函数的定义、函数的图象性质，对于为什么要研究这些函数、如何去研究、从哪些方面去研究，学生并没有理清这些问题的实质，导致学生的高阶思维得不到很好的培养与发展。

二、初中数学函数结构化教学策略

教师该如何帮助学生深刻地理解函数的本质，提高学生对函数的理解与应用，这是一个值得关注和研究的课题。法国数学家布尔巴基指出，“数学不是研究数量的，而是研究结构的”。单元结构化教学就是基于结构化理论的一种教学方式，它可以将具有共性的一类知识模块，把其最本质的内在逻辑关系抽象出来，将分散、零碎的知识条理化、系统化，帮助学生形成清晰、完整的知识结构，最终内化生成学生自身的知识体系。笔者在教学实践中，对初中函数知识模块进行了结构化教学的尝试，通过三种课型引导学生整体建构对函数的认知体系，提升思维能力，发展学生的核心素养。

（一）单元起始课——引导学生抽象和分类

数学概念是数学得以发展的基石，但数学概念又比较抽象。初中生处于具体形象思维到形式逻辑思维过渡时期，抽象能力还比较弱。遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》对学生核心素养的培养目标：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。单元起始课承担了两个重要的任务：一是采用从特殊到一般的归纳思维，从大量的具体现实问题情境中让学生学会分析、比较、概括，逐步抽象出对函数概念的认知和理解；二是采用分类的数学思想方法，帮助学生建立有序的学习路径，分门别类地开展函数的探究与学习。

1.抽象函数概念

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调了数学的抽象性，即“数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系”。这样的表述不仅强调了数学的研究对象是抽象的，还强调了数学的研究对象是通过对现实世界的数量和数量关系、图形和图形关系的抽象得到的。这意味着数学教育要关注数学的抽象，特别要关注数学如何对数量和数量关系、图形和图形关系进行抽象，如何得到和表达数学的研究对象。

函数单元起始课需要呈现大量实际问题，包含行程问题、购物问题、几何问题、利润问题、工程问题等等，例如，A、B两地的路程为900km，求一辆汽车从A到B地所需时间t（h）与汽车的平均速度v（km/h）之间的关系式；有一张长方形纸片，长、宽分别为8cm和6cm，现在长、宽上分别剪去宽为xcm(x6)的纸条，求剩余部分的面积y与x的关系式；已知某商品每箱盈利10元，现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱。设每箱涨价x元时（其中x为正整数），每天的总利润为y元，求y与x之间的关系式，等等。课堂中可